Resolva as equações diferenciais
c) .

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial . Esse tipo de problema pertence ao estudo de equações diferenciais ordinárias, especificamente de equações separáveis. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis e e então integrar ambos os lados.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para separar e . Temos:
Podemos dividir ambos os lados por :

Passo 3

Agora, isolamos :
Isso está na forma de uma equação separável, onde podemos escrever como:

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados da equação:
A integral de é e a integral de é . Então:

Passo 5

Para simplificar, podemos multiplicar ambos os lados por 2:
Podemos reescrever como uma constante :

Passo 6

Aplicando propriedades dos logaritmos, podemos escrever:
Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Como é uma constante, podemos chamar de :

Passo 7

Finalmente, resolvemos para :
Podemos simplificar a constante para , já que é uma constante arbitrária:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

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Aplicação: Crescimento Populacional: Sabendo que o crescimento da população de uma determinada colônia de bactérias é proporcional à população já existente pede-se:
b) Sabendo que e que determine a população em .
Encontre a solução particular determinada pela condição inicial dada.
b) Resolva o problema de valor inicial composto pela equação do item anterior e a condição .
Pede-se, para a EDO de Bernoulli,
d) Resolva a EDO .