Resolva as equações diferenciais
c)
.
c)
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial
. Esse tipo de problema pertence ao estudo de equações diferenciais ordinárias, especificamente de equações separáveis. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis
e
e então integrar ambos os lados.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para separar
e
. Temos:
Podemos dividir ambos os lados por
:
Passo 3
Agora, isolamos
:
Isso está na forma de uma equação separável, onde podemos escrever como:
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados da equação:
A integral de
é
e a integral de
é
. Então:
Passo 5
Para simplificar, podemos multiplicar ambos os lados por 2:
Podemos reescrever
como uma constante
:
Passo 6
Aplicando propriedades dos logaritmos, podemos escrever:
Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Como
é uma constante, podemos chamar de
:
Passo 7
Finalmente, resolvemos para
:
Podemos simplificar a constante
para
, já que
é uma constante arbitrária:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.
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Aplicação: Crescimento Populacional: Sabendo que o crescimento da população de uma determinada colônia de bactérias é proporcional à população já existente pede-se:
b) Sabendo que e que
determine a população em
.
b) Sabendo que
Encontre a solução particular determinada pela condição inicial dada.
b) Resolva o problema de valor inicial composto pela equação do item anterior e a condição
.
Pede-se, para a EDO de Bernoulli,
d) Resolva a EDO
.