Em uma aplicação específica que envolve o escoamento de ar sobre uma superfície aquecida, a distribuição de temperaturas na camada-limite pode ser aproximada por
T-TsTinfty-Ts=1-exp (-Pr uinfty ynu)
onde y é a distância normal à superfície e o número de Prandtl, Pr=cp mu / k=0,7, é uma propriedade adimensional do fluido. Sendo Tinfty=400 K, Ts=300 K e ux / v=5000 m^-1, qual é o fluxo térmico na superfície?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Estamos lidando com o escoamento de ar sobre uma superfície aquecida e queremos encontrar o fluxo térmico na superfície. Para resolver isso, vamos precisar entender a fórmula que descreve a distribuição de temperaturas na camada-limite e aplicar conceitos de transferência de calor, especificamente a Lei de Fourier para fluxo de calor.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula que nos foi dada:
T - TsTinfty - Ts = 1 - exp(-Pr uinfty ynu)
Aqui, é a temperatura em um ponto na camada-limite, é a temperatura da superfície, é a temperatura do ar livre, é o número de Prandtl, é a velocidade do ar longe da superfície, é a distância normal à superfície, e é a viscosidade cinemática.

Passo 3

Queremos encontrar o fluxo térmico na superfície, que é dado por:
q'' = -k dTdy|y=0
Onde é a condutividade térmica do ar e é a derivada da temperatura em relação à distância .

Passo 4

Vamos primeiro encontrar a derivada T - Ts = (Tinfty - Ts) [1 - exp(-Pr uinfty ynu)] . A partir da fórmula dada:
dTdy = (Tinfty - Ts) (Pr uinftynu) exp(-Pr uinfty ynu)
Derivando ambos os lados em relação a :

Passo 5

Agora, avaliamos essa derivada na superfície, ou seja, quando dTdy|y=0 = (Tinfty - Ts) (Pr uinftynu) exp(0) :
dTdy|y=0 = (Tinfty - Ts) Pr uinftynu
Como :

Passo 6

Substituindo os valores fornecidos:
  • dTdy|y=0 = (400 - 300) times 0,7 times 5000 = 100 times 0,7 times 5000 = 350000 , K/m
Então:

Passo 7

Agora, aplicamos a Lei de Fourier para encontrar o fluxo térmico:
q'' = -k times 350000 , K/m
Como estamos interessados no valor absoluto do fluxo térmico, podemos omitir o sinal negativo:
q'' = k times 350000 , W/m² ²

Resposta

O fluxo térmico na superfície é dado por ², onde é a condutividade térmica do ar.

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