Um tanque cilíndrico de água com 4 pés de altura e 3 pés de diâmetro cuja parte superior está aberta para a atmosfera inicialmente está cheio com água. Agora a tampa de descarga próxima à parte inferior do tanque é retirada, e sai um jato de água cujo diâmetro é de . A velocidade média do jato é dada por onde é a altura da água no tanque medida a partir do centro do orifício e g é a aceleração da gravidade. Determine o tempo necessário para que o nível da água no tanque caia para 2 pés a partir da sua parte inferior.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um tanque cilíndrico cheio de água com 4 pés de altura e 3 pés de diâmetro. A parte de cima está aberta e, inicialmente, está totalmente cheia. Quando abrimos a tampa de descarga na parte de baixo, a água começa a sair por um jato com diâmetro de 0,5 polegadas. A velocidade média da água que sai é dada pela fórmula , onde é a altura da água medida a partir do centro do orifício e é a aceleração da gravidade. Queremos descobrir quanto tempo leva para que o nível da água caia para 2 pés a partir da base do tanque.
Conteúdo da matéria: Vamos usar conceitos de fluxo de líquidos, especificamente a equação de Torricelli, que relaciona a velocidade de saída de um fluido com a altura da coluna de líquido, e a relação entre a taxa de fluxo e a área da seção transversal do tanque.
O que vamos precisar:
Fórmula de Torricelli para a velocidade do jato de água.
Cálculo da área do tanque e da área do orifício de saída.
Relação entre a velocidade do fluxo e a taxa de variação do volume de água no tanque.
Integração para encontrar o tempo necessário para a mudança de nível da água.
Passo 2
Vamos começar determinando as áreas envolvidas. Primeiro, o diâmetro do tanque é de 3 pés, então o raio é metade disso:
A área da seção transversal do tanque () é:
Agora, o diâmetro do orifício de saída é de 0,5 polegadas. Primeiro, convertemos polegadas para pés:
Então, o raio () do orifício é:
A área do orifício () é:
Passo 3
Agora, aplicamos a fórmula de Torricelli para encontrar a velocidade média do jato de água:
Onde:
é a aceleração da gravidade ()
é a altura da água acima do centro do orifício.
Inicialmente, a altura total do tanque é 4 pés, mas queremos quando a altura da água cai para 2 pés. Portanto, a altura média durante o escoamento será variando de 4 pés a 2 pés.
Passo 4
A taxa de saída de volume () é igual à área do orifício vezes a velocidade do jato:
A taxa de variação do volume no tanque também está relacionada à área do tanque e à taxa de variação da altura da água ():
Igualando as duas expressões para :
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por :
Passo 5
Agora, isolamos :
Substituindo :
Passo 6
Queremos encontrar o tempo necessário para que o nível da água caia de 4 pés para 2 pés. Isso significa que varia de 4 pés para 2 pés. Podemos escrever a equação diferencial:
Para facilitar a integração, rearranjamos os termos:
Integrando ambos os lados, de para e de para :
Passo 7
Calculando as integrais:
2(raiz2 - raiz4) = raiz2g5184 T
2(raiz2 - 2) = raiz2g5184 T
Passo 8
Resolvendo para T = 2(raiz2 - 2) times 5184raiz2g :
T = 2(raiz2 - 2) times 5184raiz2 times 32,2 = 2(raiz2 - 2) times 5184raiz64,4 = 2(raiz2 - 2) times 51848,03
Substituindo é:
Resposta
O tempo necessário para que o nível da água no tanque caia de 4 pés para 2 pés é aproximadamente T approx 2 times (-0,5858) times 646 approx -759 segundos segundos. Calculando os valores numéricos:
T approx 759 segundos approx 12,65 minutos
Como o tempo não pode ser negativo, consideramos o valor absoluto:
Portanto, levará aproximadamente 12,65 minutos para que o nível da água no tanque caia para 2 pés a partir da sua parte inferior.