Um tanque cilíndrico de água com 4 pés de altura e 3 pés de diâmetro cuja parte superior está aberta para a atmosfera inicialmente está cheio com água. Agora a tampa de descarga próxima à parte inferior do tanque é retirada, e sai um jato de água cujo diâmetro é de 0,5^prime prime. A velocidade média do jato é dada por v=raiz2 g h onde h é a altura da água no tanque medida a partir do centro do orifício e g é a aceleração da gravidade. Determine o tempo necessário para que o nível da água no tanque caia para 2 pés a partir da sua parte inferior.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um tanque cilíndrico cheio de água com 4 pés de altura e 3 pés de diâmetro. A parte de cima está aberta e, inicialmente, está totalmente cheia. Quando abrimos a tampa de descarga na parte de baixo, a água começa a sair por um jato com diâmetro de 0,5 polegadas. A velocidade média da água que sai é dada pela fórmula , onde é a altura da água medida a partir do centro do orifício e é a aceleração da gravidade. Queremos descobrir quanto tempo leva para que o nível da água caia para 2 pés a partir da base do tanque.
Conteúdo da matéria: Vamos usar conceitos de fluxo de líquidos, especificamente a equação de Torricelli, que relaciona a velocidade de saída de um fluido com a altura da coluna de líquido, e a relação entre a taxa de fluxo e a área da seção transversal do tanque.
O que vamos precisar:
  • Fórmula de Torricelli para a velocidade do jato de água.
  • Cálculo da área do tanque e da área do orifício de saída.
  • Relação entre a velocidade do fluxo e a taxa de variação do volume de água no tanque.
  • Integração para encontrar o tempo necessário para a mudança de nível da água.

Passo 2

Vamos começar determinando as áreas envolvidas. Primeiro, o diâmetro do tanque é de 3 pés, então o raio R = 32 = 1,5 pés é metade disso:
Atanque = pi R^2 = pi (1,5)^2 = pi times 2,25 = 2,25pi pés^2 é
A área da seção transversal do tanque ( 0,5 po<=gadas = 0,512 pés = 124 pés ) é:
r = 12 times 124 = 148 pés é
Agora, o diâmetro do orifício de saída é de 0,5 polegadas. Primeiro, convertemos polegadas para pés:
Aorifício = pi r^2 = pi ( 148 )^2 = pi times 12304 = pi2304 pés^2 éé
Então, o raio ( ) do orifício é:
é
A área do orifício ( í) é:
íé

Passo 3

Agora, aplicamos a fórmula de Torricelli para encontrar a velocidade média do jato de água:
v = raiz2gh
Onde:
  • é a aceleração da gravidade ( é)
  • é a altura da água acima do centro do orifício.
Inicialmente, a altura total do tanque é 4 pés, mas queremos quando a altura da água cai para 2 pés. Portanto, a altura média durante o escoamento será variando de 4 pés a 2 pés.

Passo 4

A taxa de saída de volume ( dVdt = Aorifício times v = pi2304 raiz2gh ) é igual à área do orifício vezes a velocidade do jato:
dVdt = Atanque times dhdt = 2,25pi times dhdt í
A taxa de variação do volume no tanque também está relacionada à área do tanque e à taxa de variação da altura da água ( 2,25pi dhdt = pi2304 raiz2gh ):
2,25 dhdt = 12304 raiz2gh
Igualando as duas expressões para :
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por :

Passo 5

Agora, isolamos dhdt = 12,25 times 2304 raiz2gh = 15184 raiz2gh :
dhdt = 15184 times v
Substituindo :

Passo 6

Queremos encontrar o tempo necessário para que o nível da água caia de 4 pés para 2 pés. Isso significa que dhdt = 15184 raiz2gh varia de 4 pés para 2 pés. Podemos escrever a equação diferencial:
dhraizh = raiz2g5184 dt
Para facilitar a integração, rearranjamos os termos:
integral4^2 h^-1/2 dh = raiz2g5184 integral0^T dt
Integrando ambos os lados, de para e de para :

Passo 7

Calculando as integrais:
2h^1/2 |4^2 = raiz2g5184 T
2(raiz2 - raiz4) = raiz2g5184 T
2(raiz2 - 2) = raiz2g5184 T

Passo 8

Resolvendo para T = 2(raiz2 - 2) times 5184raiz2g :
T = 2(raiz2 - 2) times 5184raiz2 times 32,2 = 2(raiz2 - 2) times 5184raiz64,4 = 2(raiz2 - 2) times 51848,03
Substituindo é:

Resposta

O tempo necessário para que o nível da água no tanque caia de 4 pés para 2 pés é aproximadamente T approx 2 times (-0,5858) times 646 approx -759 segundos segundos. Calculando os valores numéricos:
T approx 759 segundos approx 12,65 minutos
Como o tempo não pode ser negativo, consideramos o valor absoluto:
Portanto, levará aproximadamente 12,65 minutos para que o nível da água no tanque caia para 2 pés a partir da sua parte inferior.

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