Uma das aplicações das integrais duplas pode ser vista na Física a respeito de cargas elétricas. Neste contexto, considere que uma determinada carga elétrica é distribuída sobre a região retangular R equals left curly bracket 0 less or equal than x less or equal than 10 comma space 2 less or equal than y less or equal than 10 right curly bracket, de modo que a densidade de carga em (x,y) é descrita pela função de duas variáveis sigma left parenthesis x comma y right parenthesis equals 2 x plus 4 y (medida em Coulombs por metro quadrado). Qual seria a carga total no retângulo?
Assinale a alternativa correta.
Selecione uma alternativa:
a)
2720 C
b)
1720 C
c)
2520 C
d)
3720 C
e)
3220 C
Assinale a alternativa correta.
Selecione uma alternativa:
a)
2720 C
b)
1720 C
c)
2520 C
d)
3720 C
e)
3220 C
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão envolve integrais duplas, que são usadas para calcular áreas ou volumes em regiões de duas dimensões. Aqui, a gente precisa encontrar a carga total em um retângulo onde a densidade de carga é dada por uma função de duas variáveis. Para isso, vamos integrar a função da densidade sobre a região definida. É como somar todas as pequenas cargas distribuídas em cada ponto desse retângulo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região onde a carga está distribuída. O retângulo $ R $ é definido por:
Isso significa que $ x $ varia de 0 a 10 e $ y $ de 2 a 10.
Passo 3
A densidade de carga é dada pela função:
Queremos encontrar a carga total $ Q $, que é a integral dupla da densidade sobre a região $ R $:
Passo 4
Vamos começar integrando em relação a $ y $. Trate $ x $ como uma constante durante essa integração:
Calculando cada parte:
Então, a integral em relação a $ y $ fica:
Passo 5
Agora, vamos integrar o resultado em relação a $ x $ de 0 a 10:
Calculando cada parte:
Então, a carga total $ Q $ é:
Resposta
A carga total no retângulo é 2720 C. Portanto, a alternativa correta é a letra a).