Uma das aplicações das integrais duplas pode ser vista na Física a respeito de cargas elétricas. Neste contexto, considere que uma determinada carga elétrica é distribuída sobre a região retangular R equals left curly bracket 0 less or equal than x less or equal than 10 comma space 2 less or equal than y less or equal than 10 right curly bracket, de modo que a densidade de carga em (x,y) é descrita pela função de duas variáveis sigma left parenthesis x comma y right parenthesis equals 2 x plus 4 y (medida em Coulombs por metro quadrado). Qual seria a carga total no retângulo?
Assinale a alternativa correta.
Selecione uma alternativa:
a)
2720 C
b)
1720 C
c)
2520 C
d)
3720 C
e)
3220 C

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A questão envolve integrais duplas, que são usadas para calcular áreas ou volumes em regiões de duas dimensões. Aqui, a gente precisa encontrar a carga total em um retângulo onde a densidade de carga é dada por uma função de duas variáveis. Para isso, vamos integrar a função da densidade sobre a região definida. É como somar todas as pequenas cargas distribuídas em cada ponto desse retângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região onde a carga está distribuída. O retângulo $ R $ é definido por:
R
Isso significa que $ x $ varia de 0 a 10 e $ y $ de 2 a 10.

Passo 3

A densidade de carga é dada pela função:
sigma(x, y) = 2x + 4y (Coulombs por metro quadrado)
Queremos encontrar a carga total $ Q $, que é a integral dupla da densidade sobre a região $ R $:
Q

Passo 4

Vamos começar integrando em relação a $ y $. Trate $ x $ como uma constante durante essa integração:
y
Calculando cada parte:
x
integral2^10 (2x + 4y) , dy = 2x integral2^10 dy + 4 integral2^10 y , dy
Então, a integral em relação a $ y $ fica:
2x integral2^10 dy = 2x (10 - 2) = 16x

Passo 5

Agora, vamos integrar o resultado em relação a $ x $ de 0 a 10:
x
Calculando cada parte:
Q = integral0^10 (16x + 192) , dx = 16 integral0^10 x , dx + 192 integral0^10 dx
16 integral0^10 x , dx = 16 [ x^22 ]0^10 = 16 ( 1002 - 0 ) = 16 times 50 = 800
Então, a carga total $ Q $ é:
192 integral0^10 dx = 192 (10 - 0) = 1920

Resposta

A carga total no retângulo é 2720 C. Portanto, a alternativa correta é a letra a).

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