Uma das aplicações interessantes do processo de Poisson é na modelagem da intensidade de chuva. Foi descoberto que o número dos pingos de chuva que caem sobre determinada área obedece ao processo de Poisson. Dessa maneira, esse modelo é utilizado nos cálculos dos famosos milímetros de chuva por área. Este método consiste em medir a altura de uma área alagada de teste (grosseiramente falando, um tipo de balde), em um determinado tempo geralmente o padrão usado é um dia inteiro. Considere que em determinada região foi avaliado que cai em média 25 mm de chuva por dia. Para simplificar, vamos considerar que os milímetros de chuva, nesse exercício, são variáveis discretas que assumem valores como e que 1 mm de chuva pode cair independentemente dos demais.
(a) Sabendo-se que o horário de maior tráfego nessa região acontece entre 17 h 53 min e 20 h 17 min , qual a probabilidade de chover durante o horário de rush?
(b) Se 1 mm de chuva cair no instante 0 , qual é a probabilidade de que o tempo até o próximo mm de chuva esteja entre 48 minutos e 1 hora e 12 minutos?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre como usar o processo de Poisson para modelar a quantidade de chuva que cai em uma determinada região. A gente sabe que, em média, caem 25 mm de chuva por dia nessa área. Vamos precisar entender um pouco sobre processos de Poisson e distribuição exponencial para resolver as duas partes do exercício.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a). A pergunta é sobre a probabilidade de chover durante o horário de maior tráfego, que vai das 17h53 às 20h17. Primeiro, vamos calcular quanto tempo é esse período.
Passo 3
Das 17h53 às 20h17 são 2 horas e 24 minutos no total. Convertendo tudo para minutos: 2 horas são 120 minutos mais 24 minutos dá 144 minutos.
Passo 4
Sabemos que, em média, caem 25 mm de chuva por dia. Vamos considerar que o dia tem 24 horas, ou seja, 1440 minutos. Então, a taxa média de chuva por minuto é:
Passo 5
Agora, queremos saber a probabilidade de ocorrer pelo menos 1 mm de chuva nos 144 minutos do horário de rush. No processo de Poisson, a probabilidade de ocorrer exatamente eventos em um intervalo de tempo é dada por:
Onde é a taxa média por minuto e é o tempo em minutos.
Passo 6
A probabilidade de pelo menos 1 mm de chuva é igual a 1 menos a probabilidade de não chover nada nesse período. Ou seja:
Passo 7
Calculando :
Passo 8
Agora, calculamos :
Passo 9
Então, a probabilidade de pelo menos 1 mm de chuva durante o horário de rush é:
Passo 10
Portanto, há aproximadamente 91,8% de chance de chover durante o horário de maior tráfego.
Passo 11
Agora, vamos para a parte (b). A pergunta é: se 1 mm de chuva cai no instante 0, qual é a probabilidade de que o tempo até o próximo mm de chuva esteja entre 48 minutos e 1 hora e 12 minutos?
Passo 12
Para essa parte, vamos usar a distribuição exponencial, que modela o tempo entre eventos em um processo de Poisson. Sabemos que o tempo entre chuvas segue essa distribuição.
Passo 13
Primeiro, temos que entender a taxa da distribuição exponencial. A relação entre a taxa do processo de Poisson e a distribuição exponencial é:
Já calculamos anteriormente que .
Passo 14
Na distribuição exponencial, a probabilidade de que o tempo até o próximo evento esteja entre e é dada por:
Passo 15
No nosso caso, minutos e minutos (1 hora e 12 minutos).
Passo 16
Vamos calcular e :
Passo 17
Agora, calculamos e :
Passo 18
Subtraindo os dois valores:
Passo 19
Então, a probabilidade de que o tempo até o próximo mm de chuva esteja entre 48 minutos e 1 hora e 12 minutos é de aproximadamente 14,7%.
Resposta
A probabilidade de o próximo mm de chuva ocorrer entre 48 minutos e 1 hora e 12 minutos é de aproximadamente 14,7%.