Uma máquina de refrigerantes está regulada para que o volume médio de líquido em cada garrafa seja de
e desvio padrão de
. Admita que o volume siga uma distribuição normal. Pede-se:
(a) Qual a porcentagem de garrafas em que o volume de líquido é menor que
?
(b) Qual a porcentagem de garrafas em que o volume de líquido está entre
e 1020
© Qual a medida do volume acima do qual tem-se
das garrafas?
(a) Qual a porcentagem de garrafas em que o volume de líquido é menor que
(b) Qual a porcentagem de garrafas em que o volume de líquido está entre
© Qual a medida do volume acima do qual tem-se
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma máquina de refrigerantes que enche garrafas com um volume médio (
) de
e um desvio padrão (
) de
. Como a distribuição é normal, vamos usar conceitos de distribuição normal para calcular as porcentagens pedidas.
Passo 2
Parte (a): Qual a porcentagem de garrafas em que o volume de líquido é menor que
?
Primeiro, precisamos calcular o valor
que representa quantos desvios padrão
está da média. A fórmula para isso é:
Substituindo os valores:
Agora, usamos tabelas da distribuição normal ou uma calculadora para encontrar a probabilidade correspondente a
. Olhando na tabela, a probabilidade de
é aproximadamente
.
Passo 3
Parte (b): Qual a porcentagem de garrafas em que o volume de líquido está entre
e
?
Primeiro, calculamos os valores
para
e
:
Agora, encontramos as probabilidades correspondentes:
- Para
, a probabilidade é aproximadamente . - Para
, a probabilidade é aproximadamente .
A porcentagem de garrafas com volume entre esses valores é a diferença:
Passo 4
Parte ©: Qual a medida do volume acima do qual tem-se
das garrafas?
Aqui, queremos encontrar o valor
tal que
das garrafas têm volume maior que
. Isso significa encontrar o valor
onde a área à direita é
.
Consultando a tabela da distribuição normal, o valor
correspondente a
à direita é aproximadamente
.
Agora, usamos a fórmula para encontrar
:
Resposta
(a) Aproximadamente 15,87% das garrafas têm volume menor que
.
(b) Aproximadamente 87,82% das garrafas têm volume entre
e
.
© O volume acima do qual
das garrafas estão é de aproximadamente 1016,45 cm³.
Exercícios relacionados
Uma das aplicações interessantes do processo de Poisson é na modelagem da intensidade de chuva. Foi descoberto que o número dos pingos de chuva que caem sobre determinada área obedece ao processo de Poisson. Dessa maneira, esse modelo é utilizado nos cálculos dos famosos milímetros de chuva por área. Este método consiste em medir a altura de uma área alagada de teste (grosseiramente falando, um tipo de balde), em um determinado tempo geralmente o padrão usado é um dia inteiro. Considere que em determinada região foi avaliado que cai em média 25 mm de chuva por dia. Para simplificar, vamos considerar que os milímetros de chuva, nesse exercício, são variáveis discretas que assumem valores como
e que 1 mm de chuva pode cair independentemente dos demais.
(a) Sabendo-se que o horário de maior tráfego nessa região acontece entre 17 h 53 min e 20 h 17 min , qual a probabilidade de chover durante o horário de rush?
(b) Se 1 mm de chuva cair no instante 0 , qual é a probabilidade de que o tempo até o próximo mm de chuva esteja entre 48 minutos e 1 hora e 12 minutos?
(a) Sabendo-se que o horário de maior tráfego nessa região acontece entre 17 h 53 min e 20 h 17 min , qual a probabilidade de chover durante o horário de rush?
(b) Se 1 mm de chuva cair no instante 0 , qual é a probabilidade de que o tempo até o próximo mm de chuva esteja entre 48 minutos e 1 hora e 12 minutos?
Considere a distribuição conjunta de
na tabela abaixo:
|
0 | 1 | 2 |
---|---|---|---|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
0 |
2 |
|
0 | 0 |
Encontre: a) As distribuições marginais de
e
. b) As distribuições
e
. c)
e
são independentes? Justifique d) A distribuição condicional de
dado
.
Seja
uma função densidade de probabilidade dada por:
Encontre o valor de
.
Suponha que a mesma média amostral tenha sido obtida de uma amostra de 120 itens. Forneça um intervalo de confiança de 95% para a média populacional.