Uma máquina de refrigerantes está regulada para que o volume médio de líquido em cada garrafa seja de 1000 cm^3 e desvio padrão de 10 cm^3. Admita que o volume siga uma distribuição normal. Pede-se:
(a) Qual a porcentagem de garrafas em que o volume de líquido é menor que 990 cm^3 ?
(b) Qual a porcentagem de garrafas em que o volume de líquido está entre 987 cm^3 e 1020 cm^3 ?
© Qual a medida do volume acima do qual tem-se 5 % das garrafas?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma máquina de refrigerantes que enche garrafas com um volume médio ( ) de e um desvio padrão ( ) de . Como a distribuição é normal, vamos usar conceitos de distribuição normal para calcular as porcentagens pedidas.

Passo 2

Parte (a): Qual a porcentagem de garrafas em que o volume de líquido é menor que z = X - musigma ?
Primeiro, precisamos calcular o valor z = 990 - 100010 = -1010 = -1 que representa quantos desvios padrão está da média. A fórmula para isso é:
Substituindo os valores:
Agora, usamos tabelas da distribuição normal ou uma calculadora para encontrar a probabilidade correspondente a . Olhando na tabela, a probabilidade de é aproximadamente .

Passo 3

Parte (b): Qual a porcentagem de garrafas em que o volume de líquido está entre z1 = 987 - 100010 = -1310 = -1,3 e z2 = 1020 - 100010 = 2010 = 2 ?
Primeiro, calculamos os valores 97,72% - 9,9% = 87,82% para e :
Agora, encontramos as probabilidades correspondentes:
  • Para , a probabilidade é aproximadamente .
  • Para , a probabilidade é aproximadamente .
A porcentagem de garrafas com volume entre esses valores é a diferença:

Passo 4

Parte ©: Qual a medida do volume acima do qual tem-se X = mu + z cdot sigma = 1000 + 1,645 times 10 = 1000 + 16,45 = 1016,45 , cm^3 das garrafas?
Aqui, queremos encontrar o valor tal que das garrafas têm volume maior que . Isso significa encontrar o valor onde a área à direita é .
Consultando a tabela da distribuição normal, o valor correspondente a à direita é aproximadamente .
Agora, usamos a fórmula para encontrar :

Resposta

(a) Aproximadamente 15,87% das garrafas têm volume menor que .
(b) Aproximadamente 87,82% das garrafas têm volume entre e .
© O volume acima do qual das garrafas estão é de aproximadamente 1016,45 cm³.

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