Considere a distribuição conjunta de
na tabela abaixo:
|
0 | 1 | 2 |
---|---|---|---|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
0 |
2 |
|
0 | 0 |
Encontre: a) As distribuições marginais de
e
. b) As distribuições
e
. c)
e
são independentes? Justifique d) A distribuição condicional de
dado
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma tabela que mostra a distribuição conjunta de duas variáveis aleatórias,
e
. O que a gente vai precisar aqui envolve entender distribuições marginais, distribuições de funções de
e
, verificar se
e
são independentes, e também calcular uma distribuição condicional. Vamos por partes!
Passo 2
a) Encontrar as distribuições marginais de
e
.
Primeiro, vamos entender o que é uma distribuição marginal. Imagine que você tem uma tabela com duas variáveis,
e
, e quer saber apenas a distribuição de uma delas isoladamente. Para isso, você soma as probabilidades ao longo da outra variável.
Para a distribuição marginal de
:
Vamos somar as probabilidades de cada valor de para cada valor de
.
Vamos somar as probabilidades de cada valor de
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
Para a distribuição marginal de
:
Vamos somar as probabilidades de cada valor de para cada valor de
.
Vamos somar as probabilidades de cada valor de
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
Passo 3
b) Encontrar as distribuições
e
.
Vamos começar com
. Para encontrar a distribuição de
, precisamos identificar todas as possíveis combinações de
e
que resultam em cada valor de
e somar as probabilidades correspondentes.
Distribuição de
:
-
: e -
: ou -
: , ou -
: ou -
:
Agora, para
:
Vamos identificar todas as combinações de
e
e calcular
para cada uma, somando as probabilidades que resultam no mesmo valor de
.
Distribuição de
:
-
: Quando ou -
: Quando e -
: Quando e ou e -
: Não há combinações que resultem em -
: Não há combinações que resultem em
Passo 4
c) Verificar se
e
são independentes.
Duas variáveis aleatórias
e
são independentes se, para todo
e
, a probabilidade conjunta
é igual ao produto das probabilidades marginais
.
Vamos verificar alguns casos:
-
Para
e : -
Como já encontramos um caso onde
, isso já nos diz que e não são independentes.
Passo 5
d) Encontrar a distribuição condicional de
dado
.
A distribuição condicional de
dado
é dada por:
Vamos calcular para cada valor de
:
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
Resposta
a) Distribuições marginais:
b) Distribuições de
e
:
c)
e
não são independentes porque
para alguns valores de
e
.
d) Distribuição condicional de
dado
: