Considere a distribuição conjunta de (X, Y) na tabela abaixo:
Y / X 0 1 2
0 29 13 115
1 29 215 0
2 145 0 0
Encontre: a) As distribuições marginais de X e Y. b) As distribuições W=X+Y e Z=X Y. c) X e Y são independentes? Justifique d) A distribuição condicional de X dado Y=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma tabela que mostra a distribuição conjunta de duas variáveis aleatórias, e . O que a gente vai precisar aqui envolve entender distribuições marginais, distribuições de funções de e , verificar se e são independentes, e também calcular uma distribuição condicional. Vamos por partes!

Passo 2

a) Encontrar as distribuições marginais de P(X=0) = 29 + 13 + 115 = 29 + 515 + 115 = 1045 + 1545 + 345 = 2845 e P(X=1) = 29 + 215 + 0 = 1045 + 645 = 1645 .
Primeiro, vamos entender o que é uma distribuição marginal. Imagine que você tem uma tabela com duas variáveis, P(X=2) = 145 + 0 + 0 = 145 e P(Y=0) = 29 + 13 + 115 = 1045 + 1545 + 345 = 2845 , e quer saber apenas a distribuição de uma delas isoladamente. Para isso, você soma as probabilidades ao longo da outra variável.
Para a distribuição marginal de P(Y=1) = 29 + 215 + 0 = 1045 + 645 = 1645 :
Vamos somar as probabilidades de cada valor de P(Y=2) = 145 + 0 + 0 = 145 para cada valor de .
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Para a distribuição marginal de :
Vamos somar as probabilidades de cada valor de para cada valor de .
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 3

b) Encontrar as distribuições P(W=0) = 29 e P(W=1) = 13 + 29 = 39 + 29 = 59 .
Vamos começar com P(W=2) = 115 + 215 + 145 = 315 + 145 = 945 + 145 = 1045 = 29 . Para encontrar a distribuição de P(W=3) = 0 + 0 = 0 , precisamos identificar todas as possíveis combinações de P(W=4) = 0 e P(Z=0) = 29 + 13 + 29 + 145 = 1045 + 1545 + 1045 + 145 = 3645 = 45 que resultam em cada valor de P(Z=1) = 215 e somar as probabilidades correspondentes.
Distribuição de P(Z=2) = 0 + 0 = 0 :
  • : e
  • : ou
  • : , ou
  • : ou
  • :
Agora, para :
Vamos identificar todas as combinações de e e calcular para cada uma, somando as probabilidades que resultam no mesmo valor de .
Distribuição de :
  • : Quando ou
  • : Quando e
  • : Quando e ou e
  • : Não há combinações que resultem em
  • : Não há combinações que resultem em

Passo 4

c) Verificar se P(X=0, Y=0) = 29 e P(X=0) times P(Y=0) = 2845 times 2845 = 7842025 approx 0,387 são independentes.
Duas variáveis aleatórias 29 approx 0,222 neq 0,387 e são independentes se, para todo e , a probabilidade conjunta é igual ao produto das probabilidades marginais .
Vamos verificar alguns casos:
  • Para e :
  • Como já encontramos um caso onde , isso já nos diz que e não são independentes.

Passo 5

d) Encontrar a distribuição condicional de P(X=x mid Y=1) = P(X=x, Y=1)P(Y=1) dado P(X=0 mid Y=1) = 291645 = 29 times 4516 = 1016 = 58 .
A distribuição condicional de P(X=1 mid Y=1) = 2151645 = 215 times 4516 = 616 = 38 dado P(X=2 mid Y=1) = 01645 = 0 é dada por:
Vamos calcular para cada valor de :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Resposta

a) Distribuições marginais:
P(X=0) = 2845, P(X=1) = 1645, P(X=2) = 145
P(Y=0) = 2845, P(Y=1) = 1645, P(Y=2) = 145
b) Distribuições de P(W=0) = 29, P(W=1) = 59, P(W=2) = 29, P(W=3) = 0, P(W=4) = 0 e P(Z=0) = 45, P(Z=1) = 215, P(Z=2) = 0 :
P(X=0 mid Y=1) = 58, P(X=1 mid Y=1) = 38, P(X=2 mid Y=1) = 0
c) e não são independentes porque para alguns valores de e .
d) Distribuição condicional de dado :

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