Considere a distribuição conjunta de na tabela abaixo:
0
1
2
0
1
0
2
0
0
Encontre: a) As distribuições marginais de e . b) As distribuições e . c) e são independentes? Justifique d) A distribuição condicional de dado .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma tabela que mostra a distribuição conjunta de duas variáveis aleatórias, e . O que a gente vai precisar aqui envolve entender distribuições marginais, distribuições de funções de e , verificar se e são independentes, e também calcular uma distribuição condicional. Vamos por partes!
Passo 2
a) Encontrar as distribuições marginais de e .
Primeiro, vamos entender o que é uma distribuição marginal. Imagine que você tem uma tabela com duas variáveis, e , e quer saber apenas a distribuição de uma delas isoladamente. Para isso, você soma as probabilidades ao longo da outra variável.
Para a distribuição marginal de :
Vamos somar as probabilidades de cada valor de para cada valor de .
Para :
Para :
Para :
Para a distribuição marginal de :
Vamos somar as probabilidades de cada valor de para cada valor de .
Para :
Para :
Para :
Passo 3
b) Encontrar as distribuições e .
Vamos começar com . Para encontrar a distribuição de , precisamos identificar todas as possíveis combinações de e que resultam em cada valor de e somar as probabilidades correspondentes.
Distribuição de :
: e
: ou
: , ou
: ou
:
Agora, para :
Vamos identificar todas as combinações de e e calcular para cada uma, somando as probabilidades que resultam no mesmo valor de .
Distribuição de :
: Quando ou
: Quando e
: Quando e ou e
: Não há combinações que resultem em
: Não há combinações que resultem em
Passo 4
c) Verificar se e são independentes.
Duas variáveis aleatórias e são independentes se, para todo e , a probabilidade conjunta é igual ao produto das probabilidades marginais .
Vamos verificar alguns casos:
Para e :
Como já encontramos um caso onde , isso já nos diz que e não são independentes.
Passo 5
d) Encontrar a distribuição condicional de dado .
A distribuição condicional de dado é dada por:
Vamos calcular para cada valor de :
Para :
Para :
Para :
Resposta
a) Distribuições marginais:
b) Distribuições de e :
c) e não são independentes porque para alguns valores de e .