O tempo gasto, em minutos, para responder à primeira questão de uma prova é uma variável aleatória contínua X, cuja função densidade de probabilidade é dada por:
f(x)=cc x4, & se 0
Pede-se: se uma amostra aleatória de 200 alunos responder a essa questão, qual é o número mais provável de estudantes que a respondam num tempo entre 0,5 e 2,5 minutos?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de densidade de probabilidade contínua que descreve o tempo que um estudante leva para responder a primeira questão de uma prova. O exercício nos pergunta: em uma amostra de 200 alunos, qual é o número mais provável de estudantes que responderão essa questão em um tempo entre 0,5 e 2,5 minutos?
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de probabilidade contínua e distribuição binomial. Vamos calcular a probabilidade de um aluno responder nesse intervalo de tempo e, depois, multiplicar essa probabilidade pelo total de alunos (200) para encontrar o número mais provável.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a probabilidade de um único aluno responder a questão em um tempo entre 0,5 e 2,5 minutos. Para isso, precisamos calcular a integral da função de densidade de probabilidade f(x) = x4, & se 0 < x <= 2 1 - x4, & se 2 < x <= 4 0, & para outros valores de x nesse intervalo.
A função é definida por partes:
Então, vamos dividir nosso cálculo em duas partes:
  1. De 0,5 a 2 minutos, onde
  2. De 2 a 2,5 minutos, onde

Passo 3

Vamos calcular a primeira integral, de 0,5 a 2 minutos:
P1 = integral0,5^2 x4 dx
A integral de P1 = [ x^28 ]0,5^2 = 2^28 - 0,5^28 = 48 - 0,258 = 0,5 - 0,03125 = 0,46875 em relação a é . Avaliando de 0,5 a 2:

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda integral, de 2 a 2,5 minutos:
P2 = integral2^2,5 (1 - x4) dx
A integral de P2 = [ x - x^28 ]2^2,5 = (2,5 - 6,258) - (2 - 48) = (2,5 - 0,78125) - (2 - 0,5) = 1,71875 - 1,5 = 0,21875 em relação a é . Avaliando de 2 a 2,5:

Passo 5

Agora, somamos as duas probabilidades para obter a probabilidade total P = P1 + P2 = 0,46875 + 0,21875 = 0,6875 de um aluno responder entre 0,5 e 2,5 minutos:
Ou seja, há uma probabilidade de 68,75% de um aluno responder nesse intervalo de tempo.

Passo 6

Por fim, para encontrar o número mais provável de estudantes que responderão entre 0,5 e 2,5 minutos numa amostra de 200 alunos, multiplicamos a probabilidade Número mais provável = 200 times 0,6875 = 137,5 pelo total de alunos:
úá
Como não podemos ter meio aluno, arredondamos para o número inteiro mais próximo, que é 138.

Resposta

O número mais provável de estudantes que responderão a questão entre 0,5 e 2,5 minutos é 138 alunos.

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