O tempo gasto, em minutos, para responder à primeira questão de uma prova é uma variável aleatória contínua , cuja função densidade de probabilidade é dada por:
Pede-se: se uma amostra aleatória de 200 alunos responder a essa questão, qual é o número mais provável de estudantes que a respondam num tempo entre 0,5 e 2,5 minutos?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de densidade de probabilidade contínua que descreve o tempo que um estudante leva para responder a primeira questão de uma prova. O exercício nos pergunta: em uma amostra de 200 alunos, qual é o número mais provável de estudantes que responderão essa questão em um tempo entre 0,5 e 2,5 minutos?
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de probabilidade contínua e distribuição binomial. Vamos calcular a probabilidade de um aluno responder nesse intervalo de tempo e, depois, multiplicar essa probabilidade pelo total de alunos (200) para encontrar o número mais provável.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a probabilidade de um único aluno responder a questão em um tempo entre 0,5 e 2,5 minutos. Para isso, precisamos calcular a integral da função de densidade de probabilidade f(x) = x4, & se 0 < x <= 2 1 - x4, & se 2 < x <= 4 0, & para outros valores de x nesse intervalo.
A função é definida por partes:
Então, vamos dividir nosso cálculo em duas partes:
De 0,5 a 2 minutos, onde
De 2 a 2,5 minutos, onde
Passo 3
Vamos calcular a primeira integral, de 0,5 a 2 minutos:
P1 = integral0,5^2 x4 dx
A integral de P1 = [ x^28 ]0,5^2 = 2^28 - 0,5^28 = 48 - 0,258 = 0,5 - 0,03125 = 0,46875 em relação a é . Avaliando de 0,5 a 2:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda integral, de 2 a 2,5 minutos:
P2 = integral2^2,5 (1 - x4) dx
A integral de P2 = [ x - x^28 ]2^2,5 = (2,5 - 6,258) - (2 - 48) = (2,5 - 0,78125) - (2 - 0,5) = 1,71875 - 1,5 = 0,21875 em relação a é . Avaliando de 2 a 2,5:
Passo 5
Agora, somamos as duas probabilidades para obter a probabilidade total P = P1 + P2 = 0,46875 + 0,21875 = 0,6875 de um aluno responder entre 0,5 e 2,5 minutos:
Ou seja, há uma probabilidade de 68,75% de um aluno responder nesse intervalo de tempo.
Passo 6
Por fim, para encontrar o número mais provável de estudantes que responderão entre 0,5 e 2,5 minutos numa amostra de 200 alunos, multiplicamos a probabilidade Número mais provável = 200 times 0,6875 = 137,5 pelo total de alunos:
úá
Como não podemos ter meio aluno, arredondamos para o número inteiro mais próximo, que é 138.
Resposta
O número mais provável de estudantes que responderão a questão entre 0,5 e 2,5 minutos é 138 alunos.