Seja f(x) uma função densidade de probabilidade dada por:
f(x)=rc k x^2, & se 0 <= x <= 23 35, & se 23 <= x <= 2 0, & para outros valores de x
Encontre o valor de k.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de probabilidade! A gente tem uma função densidade de probabilidade definida por partes, e precisamos descobrir o valor de que faz essa função ser válida. Para isso, vamos usar o conceito de que a área total sob a curva da função densidade deve ser igual a 1.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função densidade de probabilidade integral-infty^+infty f(x) , dx = 1 deve satisfazer:
No nosso caso, a função é zero fora dos intervalos dados, então podemos focar apenas nos intervalos onde é diferente de zero.

Passo 3

A função é definida em dois intervalos:
  1. De a , onde
  2. De a , onde
Vamos calcular a integral em cada um desses intervalos.

Passo 4

Primeiro, a integral de integral0^23 kx^2 , dx = k integral0^23 x^2 , dx = k [ x^33 ]0^23 = k ( (23)^33 - 0 ) = k ( 8273 ) = k ( 881 ) de a :

Passo 5

Agora, a integral de integral23^2 35 , dx = 35 integral23^2 dx = 35 ( 2 - 23 ) = 35 ( 63 - 23 ) = 35 cdot 43 = 1215 = 45 de a :

Passo 6

Agora, somamos as duas integrais e igualamos a 1:
k cdot 881 + 45 = 1
Vamos resolver para k cdot 881 = 1 - 45 = 15 :
k = 15881 = 15 cdot 818 = 8140

Resposta

O valor de é .

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