Seja uma função densidade de probabilidade dada por:
Encontre o valor de k.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de probabilidade! A gente tem uma função densidade de probabilidade definida por partes, e precisamos descobrir o valor de que faz essa função ser válida. Para isso, vamos usar o conceito de que a área total sob a curva da função densidade deve ser igual a 1.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função densidade de probabilidade integral-infty^+infty f(x) , dx = 1 deve satisfazer:
No nosso caso, a função é zero fora dos intervalos dados, então podemos focar apenas nos intervalos onde é diferente de zero.
Passo 3
A função é definida em dois intervalos:
De a , onde
De a , onde
Vamos calcular a integral em cada um desses intervalos.
Passo 4
Primeiro, a integral de integral0^23 kx^2 , dx = k integral0^23 x^2 , dx = k [ x^33 ]0^23 = k ( (23)^33 - 0 ) = k ( 8273 ) = k ( 881 ) de a :
Passo 5
Agora, a integral de integral23^2 35 , dx = 35 integral23^2 dx = 35 ( 2 - 23 ) = 35 ( 63 - 23 ) = 35 cdot 43 = 1215 = 45 de a :