Uma das aplicações da utilização de equações diferenciais ordinárias é no método de resfriamento de Newton, em que a taxa de diminuição da temperatura de um corpo é proporcional à diferença de temperaturas entre o corpo e o ambiente. Sabe-se que a temperatura no período inicial é igual a T0, conhecendo que a relação diferencial é dada pela expressão abaixo. Determine apresentando todos os passos da resolução a função que descreve a temperatura do corpo ao ser resfriado. Apresente a solução utilizando ao menos dois métodos de equações diferenciais.
dT/dt = -k * (T - Tm)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que fala sobre o método de resfriamento de Newton. O enunciado nos dá uma equação diferencial que relaciona a taxa de variação da temperatura de um corpo com a diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura do ambiente. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais ordinárias, especificamente métodos como separação de variáveis e fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver usando o método da separação de variáveis. A equação dada é:
Vamos rearranjar para separar as variáveis T e t:

Passo 3

Agora, integramos ambos os lados da equação:
A integral do lado esquerdo é:
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
onde é uma nova constante.

Passo 5

Resolvendo para T:
Usando a condição inicial :

Passo 6

Substituindo na expressão de T(t):

Passo 7

Agora, vamos resolver usando o método do fator integrante. A equação diferencial pode ser escrita como:
O fator integrante é:

Passo 8

Multiplicando toda a equação pelo fator integrante:
O lado esquerdo agora é a derivada do produto :

Passo 9

Integrando ambos os lados:
Resolvendo para T:

Passo 10

Aplicando a condição inicial :
Então, a solução é:

Resposta

A função que descreve a temperatura do corpo ao ser resfriado é:

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Determine o maior intervalo no qual o problema de valor inicial dado certamente tem uma única solução duas vezes diferenciável.
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u_xx + u_yy = 0, u(0, y) = 1, u(pi, y) = 1, u(x, 0) = 0, u(x, pi) = 1
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ll a) x=3 t, y=2 t^2 & b) x=1-t^2, y=1+t c) x=t^2 e^t, y=t ln t & d) x=e^2 t, y=1+cos t e) x=a cos t, y=b sen t & f) x=a cosh t, y=b senh t
Ache as retas tangentes, horizontal e vertical, ao gráfico dado pelo par de equações paramétricas.
& a) x=t^2+t, y=t^2-t & b) x=4 t^2-4 t, y=1-4 t^2 & c) x=3 a t1+t^3, y=3 a t^21+t^3