Uma das aplicações da utilização de equações diferenciais ordinárias é no método de resfriamento de Newton, em que a taxa de diminuição da temperatura de um corpo é proporcional à diferença de temperaturas entre o corpo e o ambiente. Sabe-se que a temperatura no período inicial é igual a , conhecendo que a relação diferencial é dada pela expressão abaixo. Determine apresentando todos os passos da resolução a função que descreve a temperatura do corpo ao ser resfriado. Apresente a solução utilizando ao menos dois métodos de equações diferenciais.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que fala sobre o método de resfriamento de Newton. O enunciado nos dá uma equação diferencial que relaciona a taxa de variação da temperatura de um corpo com a diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura do ambiente. Para resolver, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais ordinárias, especificamente métodos como separação de variáveis e fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver usando o método da separação de variáveis. A equação dada é:
Vamos rearranjar para separar as variáveis T e t:
Passo 3
Agora, integramos ambos os lados da equação:
A integral do lado esquerdo é:
onde C é a constante de integração.
Passo 4
Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
onde é uma nova constante.
Passo 5
Resolvendo para T:
Usando a condição inicial :
Passo 6
Substituindo na expressão de T(t):
Passo 7
Agora, vamos resolver usando o método do fator integrante. A equação diferencial pode ser escrita como:
O fator integrante é:
Passo 8
Multiplicando toda a equação pelo fator integrante:
O lado esquerdo agora é a derivada do produto :
Passo 9
Integrando ambos os lados:
Resolvendo para T:
Passo 10
Aplicando a condição inicial :
Então, a solução é:
Resposta
A função que descreve a temperatura do corpo ao ser resfriado é: