Determine o maior intervalo no qual o problema de valor inicial dado certamente tem uma única solução duas vezes diferenciável.
(j) (t^2 - 1) y'' + (t + 3) y' + 2 y = cos(t) , y(2) = y0 , y'(2) = y1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente descobrir o maior intervalo onde o problema de valor inicial dado tem uma única solução que é duas vezes diferenciável. Isso tudo está relacionado a Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs). Vamos precisar analisar os coeficientes da equação para garantir que tudo esteja funcionando direitinho.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da equação diferencial que a gente tem aqui:
Aqui, , , e . Esses são os coeficientes que a gente vai analisar.

Passo 3

Para garantir que a solução seja única e duas vezes diferenciável, os coeficientes , , e precisam ser contínuos no intervalo considerado. Além disso, não pode ser igual a zero nesse intervalo, porque ele está multiplicando a derivada segunda.

Passo 4

Vamos ver onde é igual a zero:
Então, é zero em e . Esses são os pontos críticos onde a equação pode mudar de comportamento.

Passo 5

Como o valor inicial está dado em , que é maior que 1, vamos considerar o intervalo onde . Dentro desse intervalo, não é zero e todos os coeficientes são contínuos.

Passo 6

Portanto, o maior intervalo onde a solução do problema de valor inicial é única e duas vezes diferenciável é quando é maior que 1, ou seja, .

Resposta

O maior intervalo é .

Exercícios relacionados

Resolva pelo método de separação de variáveis:
u_xx + u_yy = 0, u(0, y) = 1, u(pi, y) = 1, u(x, 0) = 0, u(x, pi) = 1
Uma massa de 100 g estica uma mola 10 cm . Suponha que não haja amortecimento e que a aceleração da gravidade seja de 10^3 cm/s^2. Encontre a frequência, o período e a amplitude do movimento. Determine a posição s em função do tempo t.
(b) Se a massa é puxada para baixo esticando a mola 1 cm e depois colocada em movimento com uma velocidade para baixo de 10 cm/s.
Uma das aplicações da utilização de equações diferenciais ordinárias é no método de resfriamento de Newton, em que a taxa de diminuição da temperatura de um corpo é proporcional à diferença de temperaturas entre o corpo e o ambiente. Sabe-se que a temperatura no período inicial é igual a T0, conhecendo que a relação diferencial é dada pela expressão abaixo. Determine apresentando todos os passos da resolução a função que descreve a temperatura do corpo ao ser resfriado. Apresente a solução utilizando ao menos dois métodos de equações diferenciais.
dT/dt = -k * (T - Tm)
Ache d yd x e d^2 yd x^2 sem eliminar o parâmetro.
ll a) x=3 t, y=2 t^2 & b) x=1-t^2, y=1+t c) x=t^2 e^t, y=t ln t & d) x=e^2 t, y=1+cos t e) x=a cos t, y=b sen t & f) x=a cosh t, y=b senh t