Determine o maior intervalo no qual o problema de valor inicial dado certamente tem uma única solução duas vezes diferenciável.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente descobrir o maior intervalo onde o problema de valor inicial dado tem uma única solução que é duas vezes diferenciável. Isso tudo está relacionado a Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs). Vamos precisar analisar os coeficientes da equação para garantir que tudo esteja funcionando direitinho.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da equação diferencial que a gente tem aqui:
Aqui, , , e . Esses são os coeficientes que a gente vai analisar.
Passo 3
Para garantir que a solução seja única e duas vezes diferenciável, os coeficientes , , e precisam ser contínuos no intervalo considerado. Além disso, não pode ser igual a zero nesse intervalo, porque ele está multiplicando a derivada segunda.
Passo 4
Vamos ver onde é igual a zero:
Então, é zero em e . Esses são os pontos críticos onde a equação pode mudar de comportamento.
Passo 5
Como o valor inicial está dado em , que é maior que 1, vamos considerar o intervalo onde . Dentro desse intervalo, não é zero e todos os coeficientes são contínuos.
Passo 6
Portanto, o maior intervalo onde a solução do problema de valor inicial é única e duas vezes diferenciável é quando é maior que 1, ou seja, .