Ache d yd x e d^2 yd x^2 sem eliminar o parâmetro.
ll a) x=3 t, y=2 t^2 & b) x=1-t^2, y=1+t c) x=t^2 e^t, y=t ln t & d) x=e^2 t, y=1+cos t e) x=a cos t, y=b sen t & f) x=a cosh t, y=b senh t

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um exercício de cálculo que pede para encontrar a primeira e a segunda derivada de x = 3t, y = 2t^2 em relação a usando equações paramétricas, ou seja, sem eliminar o parâmetro . Vamos focar na parte a) do exercício:
Aqui, e são expressos em função do parâmetro .

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar como achar dydx = dydtdxdt quando temos e em função de . A fórmula é:
Então, vamos calcular e .

Passo 3

Calculando dxdt = ddt(3t) = 3 :

Passo 4

Calculando dydt = ddt(2t^2) = 4t :

Passo 5

Agora, substituímos esses valores na fórmula da derivada:
dydx = 4t3

Passo 6

Para achar a segunda derivada d^2ydx^2 = ddt(dydx) div dxdt , usamos a seguinte relação:
ddt(4t3) = 43
Primeiro, vamos derivar d^2ydx^2 = 4/33 = 49 em relação a :
Agora, dividimos pelo que já sabemos ser 3:

Resposta

dydx = 4t3 e d^2 yd x^2 = 49

Exercícios relacionados

Uma das aplicações da utilização de equações diferenciais ordinárias é no método de resfriamento de Newton, em que a taxa de diminuição da temperatura de um corpo é proporcional à diferença de temperaturas entre o corpo e o ambiente. Sabe-se que a temperatura no período inicial é igual a T0, conhecendo que a relação diferencial é dada pela expressão abaixo. Determine apresentando todos os passos da resolução a função que descreve a temperatura do corpo ao ser resfriado. Apresente a solução utilizando ao menos dois métodos de equações diferenciais.
dT/dt = -k * (T - Tm)
Determine o maior intervalo no qual o problema de valor inicial dado certamente tem uma única solução duas vezes diferenciável.
(j) (t^2 - 1) y'' + (t + 3) y' + 2 y = cos(t) , y(2) = y0 , y'(2) = y1
Ache as retas tangentes, horizontal e vertical, ao gráfico dado pelo par de equações paramétricas.
& a) x=t^2+t, y=t^2-t & b) x=4 t^2-4 t, y=1-4 t^2 & c) x=3 a t1+t^3, y=3 a t^21+t^3
Ache o limite indicado, se ele existir.
a) R(t)=(3 t-2) i+t^2 j, lim t 2 R(t)
b) R(t)=(t-2) i+t^2-4t-2 j, lim t 2 R(t)
c) R(t)=2 sent i+cos t j, lim t pi2 R(t)
d) R(t)=(t^2-2 t-3)t-3 i+(t^2-5 t+6)t-3 j, lim t 3 R(t)
e) R(t)=e^t+1 i+|t+1| j, lim t -1 R(t)