Ache as retas tangentes, horizontal e vertical, ao gráfico dado pelo par de equações paramétricas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar as retas tangentes, tanto horizontais quanto verticais, aos gráficos das equações paramétricas dadas. Vamos trabalhar com as partes a), b) e c). Para isso, vamos precisar entender como encontrar as derivadas paramétricas e identificar onde elas anulam ou não para determinar as tangentes horizontais e verticais.
Passo 2
Parte a)
As equações paramétricas são:
Primeiro, vamos encontrar as derivadas de
e
em relação a
:
Passo 3
Para encontrar as retas tangentes horizontais, precisamos que a derivada
e
.
Resolvendo
:
Agora, verificamos
nesse valor:
Então, existe uma reta tangente horizontal quando
.
Passo 4
Agora, encontramos as coordenadas
nesse valor de
:
Como a tangente é horizontal, a reta tem a forma
. Portanto, a reta tangente horizontal é:
Passo 5
Para encontrar as retas tangentes verticais, precisamos que
e
.
Resolvendo
:
Verificamos
nesse valor:
Então, existe uma reta tangente vertical quando
.
Passo 6
Encontramos as coordenadas
nesse valor de
:
Como a tangente é vertical, a reta tem a forma
. Portanto, a reta tangente vertical é:
Passo 7
Resposta da Parte a):
- Reta tangente horizontal:
- Reta tangente vertical:
Passo 8
Parte b)
As equações paramétricas são:
Primeiro, vamos calcular as derivadas:
Passo 9
Para as retas tangentes horizontais,
e
.
Resolvendo
:
Verificamos
:
Então, existe uma reta tangente horizontal quando
.
Passo 10
Encontramos as coordenadas
nesse valor de
:
A reta tangente horizontal é:
Passo 11
Para as retas tangentes verticais,
e
.
Resolvendo
:
Verificamos
:
Então, existe uma reta tangente vertical quando
.
Passo 12
Encontramos as coordenadas
nesse valor de
:
A reta tangente vertical é:
Passo 13
Resposta da Parte b):
- Reta tangente horizontal:
- Reta tangente vertical:
Passo 14
Parte c)
As equações paramétricas são:
Primeiro, vamos calcular as derivadas usando a regra da derivada de quociente:
Passo 15
Para as retas tangentes horizontais,
e
.
Resolvendo
:
Verificamos
para cada caso:
- Para
:
- Para
:
Então, existem retas tangentes horizontais para
e
.
Passo 16
Encontramos as coordenadas
nos valores de
:
- Para
:
A reta tangente horizontal é:
- Para
:
A reta tangente horizontal é:
Passo 17
Para as retas tangentes verticais,
e
.
Resolvendo
:
Verificamos
nesse valor:
Então, existe uma reta tangente vertical para
.
Passo 18
Encontramos as coordenadas
nesse valor de
:
A reta tangente vertical é:
Passo 19
Resposta da Parte c):
- Retas tangentes horizontais:
-
- Reta tangente vertical:
-
Resposta
As retas tangentes, horizontais e verticais, para cada parte são:
a)
- Horizontal:
- Vertical:
b)
- Horizontal:
- Vertical:
c)
- Horizontais:
-
- Vertical:
-
Exercícios relacionados
Ache
sem eliminar o parâmetro.
Uma das aplicações da utilização de equações diferenciais ordinárias é no método de resfriamento de Newton, em que a taxa de diminuição da temperatura de um corpo é proporcional à diferença de temperaturas entre o corpo e o ambiente. Sabe-se que a temperatura no período inicial é igual a
, conhecendo que a relação diferencial é dada pela expressão abaixo. Determine apresentando todos os passos da resolução a função que descreve a temperatura do corpo ao ser resfriado. Apresente a solução utilizando ao menos dois métodos de equações diferenciais.
Ache o limite indicado, se ele existir.
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Ache o comprimento do arco dado.