Num aplicativo de celular, o número de mensagens chega segundo uma distribuição de Poisson, com a média de 3 mensagens por minuto. Calcule qual é a probabilidade de que num intervalo de 5 minutos se tenha menos de 3 mensagens recebidas?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a distribuição de Poisson, que é usada para modelar o número de eventos que acontecem em um intervalo de tempo fixo, quando esses eventos acontecem com uma certa taxa média e de forma independente. No nosso caso, o aplicativo recebe em média 3 mensagens por minuto. A gente quer saber qual a probabilidade de, num intervalo de 5 minutos, receber menos de 3 mensagens. Para resolver isso, vamos usar a fórmula da distribuição de Poisson e ajustar a taxa média para o período de 5 minutos.
Passo 2
Primeiro, precisamos ajustar a taxa média (λ) para os 5 minutos. Sabemos que a média é de 3 mensagens por minuto, então em 5 minutos a média será:
Passo 3
Agora, queremos calcular a probabilidade de receber menos de 3 mensagens em 5 minutos, ou seja, receber 0, 1 ou 2 mensagens. A distribuição de Poisson nos dá a probabilidade de receber exatamente k eventos, que é calculada pela fórmula:
Passo 4
Vamos calcular cada uma dessas probabilidades separadamente e depois somar:
- Probabilidade de 0 mensagens:
- Probabilidade de 1 mensagem:
- Probabilidade de 2 mensagens:
Passo 5
Agora, somamos essas probabilidades para encontrar a probabilidade de receber menos de 3 mensagens:
Resposta
A probabilidade de receber menos de 3 mensagens em 5 minutos é aproximadamente
, ou seja, 0,00386%.