Seja Y uma variável aleatória com distribuição Binomial com parâmetros n=10 e p =0,4. Calcule a probabilidade de P(4 utilizando:
a) A distribuição Binomial dada, ou seja, Y Bin (n=10; p=0,4).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma variável aleatória $ Y $ que segue uma distribuição Binomial com parâmetros $ n = 10 $ e $ p = 0,4 $. O que queremos descobrir é a probabilidade de $ Y $ estar entre 4 e 6, ou seja, $ P(4 < Y < 6) $. Para resolver isso, vamos usar a distribuição binomial, que nos ajuda a calcular probabilidades de sucessos em um número fixo de tentativas.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a fórmula da distribuição binomial. A probabilidade de obter exatamente $ k $ sucessos em $ n $ tentativas é dada por:
k
Aqui:
  • $ C(n, k) $ é a combinação de $ n $ elementos tomados $ k $ a $ k $, ou seja, quantas maneiras diferentes podemos ter $ k $ sucessos em $ n $ tentativas.
  • $ p $ é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa.
  • $ (1 - p) $ é a probabilidade de fracasso.

Passo 3

Agora, vamos calcular cada parte da fórmula para $ k = 5 $ (já que $ 4 < Y < 6 $ só inclui $ Y = 5 $ para $ Y $ inteiro).
  1. Calculando $ C(10, 5) $:
k = 5
  1. Calculando $ p^5 $:
4 < Y < 6
  1. Calculando $ (1 - p)^5 $:
Y = 5

Passo 4

Agora, vamos multiplicar todos os valores:
P(Y = 5) = 252 times 0,01024 times 0,07776 approx 0,2007

Resposta

A probabilidade de $ P(4 < Y < 6) $ é aproximadamente 20,07%.

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