Suponha uma v.a. contínua Y exponencial tal que: Y sim Exp(2).
b) Encontre o valor do terceiro quartil, ou seja, Q 3= ?.
Dicas: Q 3=Q(0,75).
P(Y <= Q 3)=0,75 Rightarrow integral0^Q 3 f(y) d y=0,75

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma variável aleatória contínua $ Y $ que segue uma distribuição exponencial com parâmetro $ \lambda = 2 $. A tarefa aqui é encontrar o terceiro quartil, ou seja, o valor $ Q_3 $ tal que 75% dos valores de $ Y $ estão abaixo dele. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a distribuição exponencial e como calcular seus quartis usando a função de distribuição acumulada (CDF).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a função de distribuição acumulada da distribuição exponencial. A CDF de uma variável exponencial $ Y $ com parâmetro $ \lambda $ é dada por:
Y
Essa função nos dá a probabilidade de $ Y $ ser menor ou igual a um valor específico $ y $.

Passo 3

Queremos encontrar o terceiro quartil $ Q_3 $, que corresponde a $ F(Q_3) = 0,75 $. Então, vamos igualar a CDF a 0,75 e resolver para $ Q_3 $:
Q3

Passo 4

Agora, vamos isolar o termo exponencial:
e^-2 Q3 = 1 - 0,75 e^-2 Q3 = 0,25

Passo 5

Para resolver a equação $ e^{-2 Q_3} = 0,25 $, vamos aplicar o logaritmo natural dos dois lados:
e^-2 Q3 = 0,25

Passo 6

Agora, vamos isolar $ Q_3 $:
Q3
Sabemos que $ \ln(0,25) = -\ln(4) $, então:
Q3 = -ln(0,25)2

Passo 7

Calculando o valor numérico:
ln(4) approx 1,3863 Q3 approx 1,38632 Q3 approx 0,6931

Resposta

O terceiro quartil $ Q_3 $ da variável $ Y $ é aproximadamente $ 0,6931 $.

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