Suponha uma v.a. contínua
exponencial tal que:
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b) Encontre o valor do terceiro quartil, ou seja,
?.
Dicas:
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b) Encontre o valor do terceiro quartil, ou seja,
Dicas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma variável aleatória contínua $ Y $ que segue uma distribuição exponencial com parâmetro $ \lambda = 2 $. A tarefa aqui é encontrar o terceiro quartil, ou seja, o valor $ Q_3 $ tal que 75% dos valores de $ Y $ estão abaixo dele. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a distribuição exponencial e como calcular seus quartis usando a função de distribuição acumulada (CDF).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a função de distribuição acumulada da distribuição exponencial. A CDF de uma variável exponencial $ Y $ com parâmetro $ \lambda $ é dada por:
Essa função nos dá a probabilidade de $ Y $ ser menor ou igual a um valor específico $ y $.
Passo 3
Queremos encontrar o terceiro quartil $ Q_3 $, que corresponde a $ F(Q_3) = 0,75 $. Então, vamos igualar a CDF a 0,75 e resolver para $ Q_3 $:
Passo 4
Agora, vamos isolar o termo exponencial:
Passo 5
Para resolver a equação $ e^{-2 Q_3} = 0,25 $, vamos aplicar o logaritmo natural dos dois lados:
Passo 6
Agora, vamos isolar $ Q_3 $:
Sabemos que $ \ln(0,25) = -\ln(4) $, então:
Passo 7
Calculando o valor numérico:
Resposta
O terceiro quartil $ Q_3 $ da variável $ Y $ é aproximadamente $ 0,6931 $.