Aplique o Teorema Fundamental do Cálculo para determinar a derivada da função. F(x)=integralx^7 sen u^7 d u

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo para achar a derivada da função . Essa questão é de Cálculo, mais especificamente de derivadas e integrais. Para resolver isso, vamos precisar entender como o teorema funciona quando os limites de integração dependem de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que diz o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC). O TFC tem duas partes, mas a que vamos usar aqui é a que conecta derivadas com integrais. Basicamente, se temos uma função definida como uma integral onde o limite superior ou inferior é uma função de F(x) = integralg(x)^h(x) f(u) , du Rightarrow F'(x) = f(h(x)) cdot h'(x) - f(g(x)) cdot g'(x) , a derivada dessa função pode ser encontrada avaliando a função integranda no limite e multiplicando pela derivada desse limite. A fórmula geral é:

Passo 3

Agora, vamos identificar as partes na nossa função:
  • f(h(x)) = sin(7^7) (a função que estamos integrando)
  • O limite inferior é h'(x) = 0
  • O limite superior é f(g(x)) = sin(x^7)
Vamos calcular agora cada parte da fórmula do TFC:
  1. Avaliar g'(x) = 1 no limite superior:
    F'(x) = sin(7^7) cdot 0 - sin(x^7) cdot 1 = -sin(x^7)
    Mas como é constante, sua derivada é zero:
  2. Avaliar no limite inferior:
    E a derivada de é:
Aplicando na fórmula do TFC:

Resposta

F'(x) = -sin(x^7)

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