Calcule o limite, se existir.
s) lim x 0(2+x)^1x+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra calcular o limite de (2+x)^1x+1 quando x se aproxima de 0. Isso envolve o estudo de limites exponenciais, e a gente vai precisar usar logaritmos para facilitar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar o limite de L:
L = lim x 0(2+x)^1x+1
Para resolver isso, a gente usa o logaritmo natural porque ele transforma a potência em multiplicação, facilitando a manipulação.

Passo 3

Aplicando o logaritmo natural nos dois lados:
ln L = lim x 0 ln(2+x)x+1
Agora, nosso objetivo é encontrar esse limite de ln L.

Passo 4

Quando x se aproxima de 0, 2 + x se aproxima de 2. Então, podemos substituir diretamente na expressão:
ln L = ln(2+0)0+1 = ln 21 = ln 2

Passo 5

Agora que temos ln L = ln 2, para encontrar L, basta “desfazer” o logaritmo natural aplicando a função exponencial:
L = e^ln 2 = 2

Resposta

O limite é igual a 2.

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