Aplique o Teste da Razão para determinar se as séries convergem, divergem ou se o método não fornece informação conclusiva. sumk=1^infty k^44^k

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente aplicar o Teste da Razão para descobrir se a série converge, diverge ou se o teste não dá uma resposta clara. O conteúdo aqui envolve séries infinitas e o Teste da Razão, que é uma ferramenta para analisar o comportamento de séries desse tipo. Vamos precisar calcular o limite da razão entre termos consecutivos da série.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o Teste da Razão. Para uma série L = limk to infty | ak+1ak | , calculamos:
ak = k^44^k
  • Se , a série converge.
  • Se ou é infinito, a série diverge.
  • Se , o teste não é conclusivo.
Então, vamos identificar na nossa série:

Passo 3

Agora, vamos calcular ak+1 = (k+1)^44^k+1 :

Passo 4

Vamos formar a razão ak+1ak = (k+1)^44^k+1k^44^k = (k+1)^44 cdot k^4 :
ak+1ak = (k+1)^44k^4
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite conforme L = limk to infty (k+1)^44k^4 tende ao infinito:
(k+1)^4 = k^4 + 4k^3 + 6k^2 + 4k + 1
Vamos expandir L = limk to infty k^4 + 4k^3 + 6k^2 + 4k + 14k^4 = 1 + 4k + 6k^2 + 4k^3 + 1k^44 usando o binômio de Newton:
L = 1 + 0 + 0 + 0 + 04 = 14
Então:
À medida que vai para infinito, todos os termos com no denominador tendem a zero:

Passo 6

Comparando o limite 14 < 1 com 1:
Segundo o Teste da Razão, se , a série converge.

Resposta

A série converge pelo Teste da Razão.

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