Aplique Teste da Razão ou Raíz, para determinar se as séries convergem, divergem ou se o método não fornece informação conclusiva. sumk=1^infty(1-3k)^k

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o Teste da Razão ou o Teste da Raiz para descobrir se a série sumk=1^infty(1-3k)^k converge, diverge ou se a gente não consegue concluir nada com esses testes. Vamos precisar entender como aplicar esses testes e analisar o comportamento dos termos da série.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teste da Raiz, que é uma das ferramentas que podemos usar aqui. O Teste da Raiz diz que para uma série sum ak, calculamos o limite limk to infty raiz[k]|ak|. Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste não dá informação.

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Raiz na nossa série. Aqui, ak = (1-3k)^k. Então, vamos calcular:
limk to infty raiz[k]|1-3k|^k = limk to infty |1-3k|

Passo 4

Agora, vamos simplificar esse limite. À medida que k cresce, 3k fica cada vez menor. Então:
limk to infty (1-3k) = 1 - 0 = 1

Passo 5

De acordo com o Teste da Raiz, se o limite for igual a 1, o teste não nos dá nenhuma informação conclusiva sobre a convergência ou divergência da série. Então, precisamos tentar outro método ou analisar de outra forma.

Passo 6

Vamos então analisar o comportamento dos termos da série. Observamos que:
limk to infty (1-3k)^k = e^-3
Isso porque limk to infty (1-ak)^k = e^-a, onde a é uma constante. No nosso caso, a = 3.

Passo 7

Então, cada termo da série tende para e^-3, que é um número positivo constante. Para uma série sum ak convergir, é necessário que limk to infty ak = 0. Como aqui o limite é e^-3 neq 0, a série diverge.

Resposta

A série sumk=1^infty(1-3k)^k diverge.

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