Aplique Teste da Razão ou Raíz, para determinar se as séries convergem, divergem ou se o método não fornece informação conclusiva.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o Teste da Razão ou o Teste da Raiz para descobrir se a série converge, diverge ou se a gente não consegue concluir nada com esses testes. Vamos precisar entender como aplicar esses testes e analisar o comportamento dos termos da série.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teste da Raiz, que é uma das ferramentas que podemos usar aqui. O Teste da Raiz diz que para uma série , calculamos o limite . Se esse limite for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, diverge; e se for igual a 1, o teste não dá informação.
Passo 3
Vamos aplicar o Teste da Raiz na nossa série. Aqui, . Então, vamos calcular:
Passo 4
Agora, vamos simplificar esse limite. À medida que k cresce, 3k fica cada vez menor. Então:
limk to infty (1-3k) = 1 - 0 = 1
Passo 5
De acordo com o Teste da Raiz, se o limite for igual a 1, o teste não nos dá nenhuma informação conclusiva sobre a convergência ou divergência da série. Então, precisamos tentar outro método ou analisar de outra forma.
Passo 6
Vamos então analisar o comportamento dos termos da série. Observamos que:
limk to infty (1-3k)^k = e^-3
Isso porque limk to infty (1-ak)^k = e^-a, onde a é uma constante. No nosso caso, a = 3.
Passo 7
Então, cada termo da série tende para e^-3, que é um número positivo constante. Para uma série sum ak convergir, é necessário que limk to infty ak = 0. Como aqui o limite é e^-3 neq 0, a série diverge.