Aplique Teste da Razão ou Raíz, para determinar se as séries convergem, divergem ou se o método não fornece informação conclusiva.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para aplicar o Teste da Razão ou o Teste da Raiz para verificar se a série converge, diverge ou se o método não dá uma resposta definitiva. Vamos precisar entender como funcionam esses testes e aplicar um deles passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher qual teste usar. O Teste da Raiz costuma ser útil quando temos potências de , como no caso dessa série onde temos . Então, vamos aplicar o Teste da Raiz.
Passo 3
O Teste da Raiz diz que, para a série , calculamos . Se esse limite for:
Menor que 1: a série converge.
Maior que 1: a série diverge.
Igual a 1: o teste é inconclusivo.
Passo 4
Vamos identificar na nossa série: . Agora, aplicamos o Teste da Raiz:
Simplificamos a expressão retirando a raiz -ésima, que cancela as potências.
Passo 5
Agora, precisamos calcular o limite . Sabemos que cresce mais lentamente que , então esse limite tende a 0.
Passo 6
Como o limite é 0, que é menor que 1, segundo o Teste da Raiz, a série converge.