Aplique Teste da Razão ou Raíz, para determinar se as séries convergem, divergem ou se o método não fornece informação conclusiva. sumk=2^infty (ln k)^kk^k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para aplicar o Teste da Razão ou o Teste da Raiz para verificar se a série converge, diverge ou se o método não dá uma resposta definitiva. Vamos precisar entender como funcionam esses testes e aplicar um deles passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher qual teste usar. O Teste da Raiz costuma ser útil quando temos potências de , como no caso dessa série onde temos . Então, vamos aplicar o Teste da Raiz.

Passo 3

O Teste da Raiz diz que, para a série , calculamos . Se esse limite for:
  • Menor que 1: a série converge.
  • Maior que 1: a série diverge.
  • Igual a 1: o teste é inconclusivo.

Passo 4

Vamos identificar limk to infty raiz[k]| (ln k)^kk^k | = limk to infty ln kk na nossa série: . Agora, aplicamos o Teste da Raiz:
Simplificamos a expressão retirando a raiz -ésima, que cancela as potências.

Passo 5

Agora, precisamos calcular o limite . Sabemos que cresce mais lentamente que , então esse limite tende a 0.

Passo 6

Como o limite é 0, que é menor que 1, segundo o Teste da Raiz, a série converge.

Resposta

A série converge pelo Teste da Raiz.

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