Aplique Teste da Razão ou Raíz, para determinar se as séries convergem, divergem ou se o método não fornece informação conclusiva. sumk=1^infty k!e^-k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa aplicar o Teste da Razão ou o Teste da Raíz para descobrir se a série converge, diverge ou se o método não dá uma resposta clara. Para isso, vamos precisar entender como funcionam esses testes e aplicar um deles à nossa série.

Passo 2

Vamos usar o Teste da Razão, que é bem útil para séries com fatoriais ou potências. O teste diz o seguinte:
Para a série , calcule o limite .
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste não conclui nada.

Passo 3

Primeiro, vamos identificar o termo geral da nossa série:
ak+1ak = (k+1)! e^-(k+1)k! e^-k = (k+1) cdot k! cdot e^-k cdot e^-1k! e^-k = (k+1) e^-1
Agora, vamos calcular a razão :

Passo 4

Agora, calculamos o limite dessa razão quando L = limk to infty (k+1) e^-1 = e^-1 cdot limk to infty (k+1) = infty tende ao infinito:
Como o limite é infinito, que é maior que 1, isso nos leva a uma conclusão.

Resposta

A série diverge pelo Teste da Razão.

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