Aplique a transformada de Laplace para resolver o sistema dado de
equações diferenciais.
& b) l d^2 xd t^2+x-y=0 d^2 yd t^2+y-x=0 x(0)=0, x^prime(0)=-2 y(0)=0, y^prime(0)=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações diferenciais e precisa resolver usando a transformada de Laplace. Isso envolve trabalhar com funções e suas derivadas. Para resolver, vamos precisar transformar as equações para o domínio de Laplace, usar as condições iniciais dadas, resolver o sistema algébrico resultante e depois aplicar a transformada inversa para encontrar as funções e .

Passo 2

Primeiro, aplicamos a transformada de Laplace em cada equação do sistema. Lembrando que a transformada de Laplace da segunda derivada de uma função Ld^2fdt^2 = s^2F(s) - s f(0) - f'(0) é:
d^2 xdt^2 + x - y = 0 implies Ld^2 xdt^2 + Lx - Ly = 0
Vamos aplicar isso em cada equação:
Para a primeira equação:
s^2X(s) - s x(0) - x'(0) + X(s) - Y(s) = 0
Substituindo:
s^2X(s) - 0 - (-2) + X(s) - Y(s) = 0 implies (s^2 + 1)X(s) - Y(s) = -2
Usando as condições iniciais d^2 ydt^2 + y - x = 0 implies Ld^2 ydt^2 + Ly - Lx = 0 e s^2Y(s) - s y(0) - y'(0) + Y(s) - X(s) = 0 :
s^2Y(s) - 0 - 1 + Y(s) - X(s) = 0 implies (s^2 + 1)Y(s) - X(s) = 1
Para a segunda equação:
Substituindo:
Usando as condições iniciais e :

Passo 3

Agora temos um sistema de equações algébricas na forma:
(s^2 + 1)X(s) - Y(s) = -2 -(X(s)) + (s^2 + 1)Y(s) = 1
Podemos representar isso em matriz:
[
s^2 + 1 & -1 -1 & s^2 + 1 X(s) Y(s) = -2 1
D = (s^2 + 1)(s^2 + 1) - (-1)(-1) = (s^2 + 1)^2 - 1 = s^4 + 2s^2 + 1 - 1 = s^4 + 2s^2

X(s) = -2 & -1 1 & s^2 + 1 D = (-2)(s^2 + 1) - (-1)(1)s^4 + 2s^2 = -2s^2 -2 +1s^4 + 2s^2 = -2s^2 -1s^4 + 2s^2
]
Para resolver, calculamos o determinante da matriz:
Y(s) = s^2 + 1 & -2 -1 & 1 D = (s^2 + 1)(1) - (-2)(-1)s^4 + 2s^2 = s^2 +1 -2s^4 + 2s^2 = s^2 -1s^4 + 2s^2
Agora, usamos a regra de Cramer para encontrar X(s) = -2s^2 -1s^2(s^2 + 2) = -(2s^2 +1)s^2(s^2 + 2) e Y(s) = s^2 -1s^2(s^2 + 2) :
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos aplicar a transformada inversa de Laplace para encontrar X(s) = -(2s^2 +1)s^2(s^2 + 2) = -2 cdot s^2s^2(s^2 + 2) - 1s^2(s^2 + 2) = -2 cdot 1s^2 + 2 - 1s^2(s^2 + 2) e L^-11s^2 + a^2 = sin(at)a .
Para L^-11s^2(s^2 + 2) = 1 - cos(raiz2 t)2 :
x(t) = -2 cdot sin(raiz2 t)raiz2 - 1 - cos(raiz2 t)2
Usando transformadas conhecidas:
x(t) = -raiz2 sin(raiz2 t) - 12 + cos(raiz2 t)2
Y(s) = s^2 -1s^2(s^2 + 2) = s^2s^2(s^2 + 2) - 1s^2(s^2 + 2) = 1s^2 + 2 - 1s^2(s^2 + 2)
Então:
y(t) = sin(raiz2 t)raiz2 - 1 - cos(raiz2 t)2
Simplificando:
y(t) = sin(raiz2 t)raiz2 - 12 + cos(raiz2 t)2
Para :
Aplicando as transformadas inversas:
Simplificando:

Resposta

As soluções para o sistema são:
x(t) = -raiz2 sin(raiz2, t) - 12 + cos(raiz2, t)2
y(t) = sin(raiz2, t)raiz2 - 12 + cos(raiz2, t)2

Exercícios relacionados