Escreva os primeiros termos da série sumn=0^infty (-1)^n2(13+sen x)^n para encontrar a e r. Calcule a soma da série e expresse a desigualdade |r|<1 em termos de x, encontrando os valores de x para os quais a desigualdade é válida e a série converge.
Nos Exercícios 73-78, encontre os valores de x para os quais a série geométrica dada converge. Encontre também a soma da série (como uma função de x) para esses valores de x.
73. sumn=0^infty 2^n x^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício 73 juntos! A gente tem a série geométrica:
sumn=0^infty 2^n x^n
Aqui, o assunto é séries geométricas. Vamos precisar identificar o primeiro termo da série ( ) e a razão ( ) para depois calcular a soma e descobrir para quais valores de a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o primeiro termo a = 2^0 x^0 = 1 times 1 = 1 da série. Na série geométrica, o primeiro termo é quando :
Então, .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a razão 2^n x^n = (2x)^n da série. A razão é o fator pelo qual cada termo é multiplicado para chegar ao próximo. Observando a série:
r = 2x
Então, a razão é:

Passo 4

Para calcular a soma da série geométrica infinita, usamos a fórmula:
S = a1 - r
Mas essa fórmula só vale se a série converge, ou seja, se .

Passo 5

Vamos verificar a condição de convergência |2x| < 1 :
|x| < 12
Resolvendo para :
Então, a série converge quando está entre e .

Passo 6

Agora, calculando a soma da série dentro desse intervalo de convergência:
S = 11 - 2x

Resposta

A série S = 11 - 2x converge para e a sua soma é dada por:

Exercícios relacionados