Escreva os primeiros termos da série
para encontrar
e
. Calcule a soma da série e expresse a desigualdade
em termos de
, encontrando os valores de
para os quais a desigualdade é válida e a série converge.
Nos Exercícios 73-78, encontre os valores de
para os quais a série geométrica dada converge. Encontre também a soma da série (como uma função de
) para esses valores de
.
73.
Nos Exercícios 73-78, encontre os valores de
73.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício 73 juntos! A gente tem a série geométrica:
Aqui, o assunto é séries geométricas. Vamos precisar identificar o primeiro termo da série (
) e a razão (
) para depois calcular a soma e descobrir para quais valores de
a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o primeiro termo
da série. Na série geométrica, o primeiro termo é quando
:
Então,
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a razão
da série. A razão é o fator pelo qual cada termo é multiplicado para chegar ao próximo. Observando a série:
Então, a razão
é:
Passo 4
Para calcular a soma da série geométrica infinita, usamos a fórmula:
Mas essa fórmula só vale se a série converge, ou seja, se
.
Passo 5
Vamos verificar a condição de convergência
:
Resolvendo para
:
Então, a série converge quando
está entre
e
.
Passo 6
Agora, calculando a soma da série dentro desse intervalo de convergência:
Resposta
A série
converge para
e a sua soma é dada por: