Aplique a transformada de Laplace para resolver o sistema dado de
equações diferenciais.
& a) l d xd t=-x+y d yd t=2 x x(0)=0, y(0)=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver um sistema de equações diferenciais usando a Transformada de Laplace. O sistema que temos é:
& dxdt = -x + y & dydt = 2x & x(0) = 0, y(0) = 1
Para resolver isso, vamos precisar usar as propriedades da Transformada de Laplace, que nos ajuda a transformar equações no domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambas as equações. Lembre-se que a transformada de uma derivada, como Ldxdt = sX(s) - x(0) , é dada por:
Onde é a transformada de .

Passo 3

Aplicando a Transformada de Laplace na primeira equação:
Ldxdt = L-x + y
Substituindo:
sX(s) - x(0) = -X(s) + Y(s)
Como sX(s) = -X(s) + Y(s) , fica:
(s + 1)X(s) = Y(s) Rightarrow X(s) = Y(s)s + 1
Rearranjando:

Passo 4

Agora, aplicamos a Transformada de Laplace na segunda equação:
Ldydt = L2x
Substituindo:
sY(s) - y(0) = 2X(s)
Como sY(s) - 1 = 2X(s) , temos:
sY(s) - 1 = 2(Y(s)s + 1)
Substituindo da equação anterior:

Passo 5

Vamos resolver para (s + 1)sY(s) - (s + 1) = 2Y(s) :
Multiplicando ambos os lados por s(s + 1)Y(s) - s - 1 = 2Y(s) para eliminar o denominador:
s(s + 1)Y(s) - 2Y(s) = s + 1
Distribuindo:
Y(s)[s(s + 1) - 2] = s + 1
Levantando todos os termos com Y(s)(s^2 + s - 2) = s + 1 de um lado:
Y(s) = s + 1s^2 + s - 2
Fatorando :
Simplificando dentro dos colchetes:
Portanto:

Passo 6

Vamos fatorar o denominador:
s^2 + s - 2 = (s + 2)(s - 1)
Então, temos:
Y(s) = s + 1(s + 2)(s - 1)
Podemos decompor em frações parciais:
s + 1(s + 2)(s - 1) = As + 2 + Bs - 1
Multiplicando ambos os lados por s + 1 = A(s - 1) + B(s + 2) :
Para encontrar e , escolhemos valores de que simplificam a equação.

Passo 7

Primeiro, deixe 1 + 1 = A(1 - 1) + B(1 + 2) 2 = 0 + 3B B = 23 :
-2 + 1 = A(-2 - 1) + B(-2 + 2) -1 = -3A + 0 A = 13
Agora, deixe Y(s) = 1/3s + 2 + 2/3s - 1 :
Então, a decomposição fica:

Passo 8

Agora, aplicamos a Transformada de Laplace inversa para encontrar y(t) = 13e^-2t + 23e^t :

Passo 9

Voltando para X(s) = 13s + 2 cdot 1s + 1 + 23s - 1 cdot 1s + 1 :
Substituindo X(s) = 13cdot1(s + 1)(s + 2) + 23cdot1(s + 1)(s - 1) :
Simplificando:
Novamente, fazemos frações parciais para cada termo.

Passo 10

Primeiro, para 1(s + 1)(s + 2) = As + 1 + Bs + 2 :
1 = A(s + 2) + B(s + 1)
Multiplicando:
1 = A(1) + B(0) A = 1
Escolhendo 1 = A(0) + B(-1) B = -1 :
1(s + 1)(s + 2) = 1s + 1 - 1s + 2
Escolhendo 1(s + 1)(s - 1) = Cs + 1 + Ds - 1 :
1 = C(s - 1) + D(s + 1)
Então:
1 = C(0) + D(2) D = 12
Agora, para 1 = C(-2) + D(0) C = -12 :
1(s + 1)(s - 1) = -12cdot1s + 1 + 12cdot1s - 1
Multiplicando:
Escolhendo :
Escolhendo :
Então:

Passo 11

Substituindo de volta em X(s) = 13(1s + 1 - 1s + 2) + 23(-12cdot1s + 1 + 12cdot1s - 1) :
X(s) = 13(s + 1) - 13(s + 2) - 13(s + 1) + 13(s - 1)
Simplificando:
X(s) = -13(s + 2) + 13(s - 1)
Os termos se cancelam:

Passo 12

Aplicando a Transformada de Laplace inversa:
x(t) = -13e^-2t + 13e^t

Resposta

As soluções do sistema são:
boxed x(t) = dfrac13e^t - dfrac13e^-2t y(t) = dfrac13e^-2t + dfrac23e^t

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