Aplique a transformada de Laplace para resolver o sistema dado de
equações diferenciais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver um sistema de equações diferenciais usando a Transformada de Laplace. O sistema que temos é:
& dxdt = -x + y & dydt = 2x & x(0) = 0, y(0) = 1
Para resolver isso, vamos precisar usar as propriedades da Transformada de Laplace, que nos ajuda a transformar equações no domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambas as equações. Lembre-se que a transformada de uma derivada, como Ldxdt = sX(s) - x(0) , é dada por:
Onde é a transformada de .
Passo 3
Aplicando a Transformada de Laplace na primeira equação:
Ldxdt = L-x + y
Substituindo:
sX(s) - x(0) = -X(s) + Y(s)
Como sX(s) = -X(s) + Y(s) , fica:
(s + 1)X(s) = Y(s) Rightarrow X(s) = Y(s)s + 1
Rearranjando:
Passo 4
Agora, aplicamos a Transformada de Laplace na segunda equação:
Ldydt = L2x
Substituindo:
sY(s) - y(0) = 2X(s)
Como sY(s) - 1 = 2X(s) , temos:
sY(s) - 1 = 2(Y(s)s + 1)
Substituindo da equação anterior:
Passo 5
Vamos resolver para (s + 1)sY(s) - (s + 1) = 2Y(s) :
Multiplicando ambos os lados por s(s + 1)Y(s) - s - 1 = 2Y(s) para eliminar o denominador:
s(s + 1)Y(s) - 2Y(s) = s + 1
Distribuindo:
Y(s)[s(s + 1) - 2] = s + 1
Levantando todos os termos com Y(s)(s^2 + s - 2) = s + 1 de um lado:
Y(s) = s + 1s^2 + s - 2
Fatorando :
Simplificando dentro dos colchetes:
Portanto:
Passo 6
Vamos fatorar o denominador:
s^2 + s - 2 = (s + 2)(s - 1)
Então, temos:
Y(s) = s + 1(s + 2)(s - 1)
Podemos decompor em frações parciais:
s + 1(s + 2)(s - 1) = As + 2 + Bs - 1
Multiplicando ambos os lados por s + 1 = A(s - 1) + B(s + 2) :
Para encontrar e , escolhemos valores de que simplificam a equação.