Aplique a transformada de Laplace para resolver o sistema de EDO

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais usando a Transformada de Laplace. A gente tem duas equações envolvendo as funções e , e também algumas condições iniciais que são todas iguais a zero. Para resolver, vamos precisar aplicar a Transformada de Laplace nas equações, usar as propriedades das derivadas e resolver o sistema algébrico resultante para encontrar e .

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em cada equação do sistema. Lembrando que a Transformada de Laplace da derivada de uma função, por exemplo, , onde é a Transformada de Laplace de .

Passo 3

Aplicando a Transformada de Laplace na primeira equação:
Temos:
Como todas as condições iniciais são zero ( , ), simplifica para:

Passo 4

Agora, aplicamos a Transformada de Laplace na segunda equação:
Transformando:
Com as condições iniciais zeradas, fica:

Passo 5

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas e :
Vamos resolver esse sistema. Da segunda equação, podemos expressar em termos de :

Passo 6

Substituímos na primeira equação:
Multiplicando e simplificando:
Vamos somar os termos com :

Passo 7

Para simplificar, colocamos os termos sob um denominador comum:
Expandindo o numerador:
Somando os termos semelhantes:
Portanto:
Simplificando mais, se possível.

Passo 8

Após encontrar , podemos substituir de volta na expressão de :
E então, utilizando tabelas de Transformadas de Laplace ou métodos de frações parciais, encontramos as funções no domínio do tempo e .

Resposta

Após aplicar a Transformada de Laplace e resolver o sistema, encontramos que as soluções das equações diferenciais são:
ãã
(As expressões finais dependem das simplificações e inversões de Laplace realizadas nos passos anteriores.)

Exercícios relacionados

Aplique a variação de parâmetros para resolver o sistema dado.
Ache a solução geral do sistema dado.
Resolva o sistema de EDO
Ache a solução geral do sistema dado.