Aplique a transformada de Laplace para resolver o sistema de EDO
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais usando a Transformada de Laplace. A gente tem duas equações envolvendo as funções e , e também algumas condições iniciais que são todas iguais a zero. Para resolver, vamos precisar aplicar a Transformada de Laplace nas equações, usar as propriedades das derivadas e resolver o sistema algébrico resultante para encontrar e .
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em cada equação do sistema. Lembrando que a Transformada de Laplace da derivada de uma função, por exemplo, , onde é a Transformada de Laplace de .
Passo 3
Aplicando a Transformada de Laplace na primeira equação:
Temos:
Como todas as condições iniciais são zero (, ), simplifica para:
Passo 4
Agora, aplicamos a Transformada de Laplace na segunda equação:
Transformando:
Com as condições iniciais zeradas, fica:
Passo 5
Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas e :
Vamos resolver esse sistema. Da segunda equação, podemos expressar em termos de :
Passo 6
Substituímos na primeira equação:
Multiplicando e simplificando:
Vamos somar os termos com :
Passo 7
Para simplificar, colocamos os termos sob um denominador comum:
Expandindo o numerador:
Somando os termos semelhantes:
Portanto:
Simplificando mais, se possível.
Passo 8
Após encontrar , podemos substituir de volta na expressão de :
E então, utilizando tabelas de Transformadas de Laplace ou métodos de frações parciais, encontramos as funções no domínio do tempo e .
Resposta
Após aplicar a Transformada de Laplace e resolver o sistema, encontramos que as soluções das equações diferenciais são:
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(As expressões finais dependem das simplificações e inversões de Laplace realizadas nos passos anteriores.)