Ache a solução geral do sistema dado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais que o professor passou. A gente tem um sistema do tipo , onde é uma matriz 3x3. O conteúdo que vamos usar aqui é de Equações Diferenciais Lineares com Matrizes, especialmente Solução Geral de Sistemas Lineares. Para resolver isso, vamos precisar encontrar os autovalores e autovetores da matriz , além de lidar com autovetores generalizados se necessário.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz . Os autovalores são soluções da equação característica , onde é a matriz identidade e representa os autovalores.
A matriz é:
Calculando :
O determinante dessa matriz é:
Então, os autovalores são e com multiplicidade 2.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os autovetores associados a cada autovalor.
Para :
Resolvemos :
Isso nos dá o sistema:
Da terceira equação, então . Substituindo na segunda equação, então . O valor de é livre, então o autovetor é:
Para :
Resolvemos :
Isso nos dá o sistema:
Da primeira equação, . Das outras duas, temos . Então, o autovetor é:

Como tem multiplicidade 2 mas apenas um autovetor, precisamos encontrar um vetor generalizado. Para isso, resolvemos :
$$

$$
Isso resulta em:
Resolvendo, obtemos e . Então, o vetor generalizado é:

Resposta

A solução geral do sistema é:
onde , e são constantes arbitrárias.

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