Resolva o sistema de EDO

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) juntos! O que temos aqui são três equações envolvendo as funções , e , onde representa a derivada em relação a (ou seja, ). Para resolver esse sistema, vamos precisar usar técnicas de álgebra linear aplicadas a EDOs. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o sistema para ficar mais claro:
Aqui, cada equação relaciona as funções , e e suas derivadas.

Passo 3

Vamos começar isolando uma das variáveis em uma das equações. Vamos da equação (1):
Queremos expressar em função de e . Então, isolamos :

Passo 4

Agora que temos em termos de , vamos substituir essa expressão na equação (2). Isso vai nos ajudar a eliminar e facilitar a resolução do sistema.
Substituindo na equação (2):
Vamos simplificar essa expressão.

Passo 5

Expandindo a equação obtida:
Lembrando que é a segunda derivada de em relação a ( ).

Passo 6

Vamos rearranjar os termos para agrupar as derivadas de e :
Isso pode ser reescrito como:
Simplificando os coeficientes de :

Passo 7

Rearranjando a equação para isolar os termos envolvendo :
Dividindo ambos os lados por (assumindo que ):
Mas essa divisão pode complicar, então vamos pensar em outra abordagem. Em vez disso, vamos trabalhar com as equações de forma que possamos resolver para posteriormente.

Passo 8

Vamos agora substituir da equação (4) na equação (3):
Substituindo :
Simplificando:

Passo 9

Agora, vamos comparar as duas equações que obtivemos após as substituições:
  1. Da equação (2) substituída:
  1. Da equação (3) substituída:
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas: e .

Passo 10

Vamos resolver o sistema formado pelas equações (a) e (b):
Podemos subtrair a equação (b) da equação (a) para eliminar alguns termos:
Simplificando:

Passo 11

Agora, vamos fatorar os termos:
Essa é uma relação entre e . Podemos resolver para uma das variáveis em termos da outra.

Passo 12

Vamos resolver a equação © para :
Dividindo ambos os lados por :

Passo 13

Agora que temos em termos de e suas derivadas, podemos substituir esse valor na uma das equações originais para encontrar . Vamos usar a equação (4):
E a equação (3) substituída anteriormente:
Substituindo na equação:

Passo 14

Essa equação parece complexa, mas podemos simplificar. Vamos multiplicar ambos os lados por para eliminar o denominador:
Agora, expandimos os termos:

Passo 15

Vamos simplificar os termos:
Agrupando termos semelhantes:
Para :
Para :
Igualando ao lado direito:

Passo 16

Agora, temos:
Vamos mover todos os termos para o lado esquerdo:
Simplificando os coeficientes de :
Então, temos:

Passo 17

Agora, isolamos :
Multiplicando ambos os lados por -1:

Passo 18

Para resolver , precisamos encontrar a solução da equação diferencial:
Primeiro, identificamos o operador diferencial no lado esquerdo:
E no lado direito temos:
Vamos resolver isso aplicando métodos de equações diferenciais lineares, como o método dos coeficientes indeterminados.

Passo 19

Vamos encontrar a solução homogênea da equação:
Para isso, encontramos as raízes características associadas ao polinômio:
Tentamos valores inteiros para . Testando :
Então, é uma raiz. Fazemos então a divisão polinomial para encontrar os outros fatores.

Passo 20

Dividindo por , obtemos:
Então, as raízes são e , que dão .

Passo 21

Com as raízes encontradas, a solução homogênea é:
Simplificando:
Onde , e são constantes de integração.

Passo 22

Agora, encontramos a solução particular para a equação completa:
Observamos que o lado direito envolve e suas derivadas. Vamos supor uma solução particular da forma:
Onde é uma constante a ser determinada.

Passo 23

Calculamos as derivadas necessárias:
Substituindo na equação:
Vemos que essa escolha leva a zero, o que significa que precisamos tentar outra forma para a solução particular. Vamos então tentar:

Passo 24

Calculamos as derivadas:
Substituindo na equação:
Igualando ao lado direito:
Então:

Passo 25

Portanto, a solução particular é:

Passo 26

A solução geral de é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Passo 27

Agora que temos , podemos encontrar e usando as expressões que encontramos anteriormente.
Lembrando que:
E também:
Vamos calcular para encontrar .

Passo 28

Calculando :
Então:

Passo 29

Agora, utilizando a expressão para :
Primeiro, calculamos :
Já temos calculado:

Passo 30

Substituindo na expressão de :

Passo 31

Para simplificar, vamos assumir que as constantes e são zero (para uma solução particular), focando apenas nos termos envolvendo . Então:
Isso implica resolver a equação:

Passo 32

Resolvendo para :
A solução particular para é:
Que nos dá:

Passo 33

Portanto, a solução geral para é:
çõê
Como focamos apenas na solução particular, podemos escrever:

Passo 34

Finalmente, juntando todas as soluções encontradas:

Resposta

A solução geral do sistema de EDOs é:
Onde , e são constantes de integração determinadas pelas condições iniciais do problema.

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