Beleza, vamos resolver esse sistema de Equações Diferenciais Ordinárias (EDOs) juntos! O que temos aqui são três equações envolvendo as funções , e , onde representa a derivada em relação a (ou seja, ). Para resolver esse sistema, vamos precisar usar técnicas de álgebra linear aplicadas a EDOs. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o sistema para ficar mais claro:
Aqui, cada equação relaciona as funções , e e suas derivadas.
Passo 3
Vamos começar isolando uma das variáveis em uma das equações. Vamos da equação (1):
Queremos expressar em função de e . Então, isolamos :
Passo 4
Agora que temos em termos de , vamos substituir essa expressão na equação (2). Isso vai nos ajudar a eliminar e facilitar a resolução do sistema.
Substituindo na equação (2):
Vamos simplificar essa expressão.
Passo 5
Expandindo a equação obtida:
Lembrando que é a segunda derivada de em relação a ().
Passo 6
Vamos rearranjar os termos para agrupar as derivadas de e :
Isso pode ser reescrito como:
Simplificando os coeficientes de :
Passo 7
Rearranjando a equação para isolar os termos envolvendo :
Dividindo ambos os lados por (assumindo que ):
Mas essa divisão pode complicar, então vamos pensar em outra abordagem. Em vez disso, vamos trabalhar com as equações de forma que possamos resolver para posteriormente.
Passo 8
Vamos agora substituir da equação (4) na equação (3):
Substituindo :
Simplificando:
Passo 9
Agora, vamos comparar as duas equações que obtivemos após as substituições:
Da equação (2) substituída:
Da equação (3) substituída:
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas: e .
Passo 10
Vamos resolver o sistema formado pelas equações (a) e (b):
Podemos subtrair a equação (b) da equação (a) para eliminar alguns termos:
Simplificando:
Passo 11
Agora, vamos fatorar os termos:
Essa é uma relação entre e . Podemos resolver para uma das variáveis em termos da outra.