Aplique a variação de parâmetros para resolver o sistema dado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais usando variação de parâmetros. O enunciado nos dá um sistema linear não homogêneo onde precisamos encontrar a solução geral. Para isso, vamos precisar entender como resolver sistemas homogêneos e depois aplicar a variação de parâmetros para lidar com a parte não homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos focar no sistema homogêneo, que é quando a parte não homogênea é zero. Ou seja, vamos resolver:

Passo 3

Para resolver o sistema homogêneo, precisamos encontrar os valores próprios (autovalores) da matriz:
Os autovalores são encontrados resolvendo o determinante:
Calculando:
Resolvendo a equação quadrática:

Passo 4

Agora que temos os autovalores e , vamos encontrar os autovetores correspondentes.
Para :
Resolvendo, encontramos que um autovetor é .
Para :
Resolvendo, encontramos que um autovetor é .

Passo 5

Com os autovalores e autovetores, a solução geral do sistema homogêneo é:
Onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 6

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( ) para o sistema não homogêneo:
Usaremos a variação de parâmetros, que consiste em assumir que as constantes e agora são funções de , ou seja, e .

Passo 7

Assumimos:
Calculamos a derivada e substituímos de volta na equação original:
Após algumas manipulações (que envolvem resolver sistemas lineares para e ), chegamos a:

Passo 8

Resolvendo o sistema para e , encontramos:
(Nota: Os detalhes do cálculo são mais extensos, mas essencialmente envolvem inversão de matrizes e integração.)
Após integrar, obtemos e , e assim a solução particular .

Passo 9

Finalmente, juntamos a solução homogênea com a particular para obter a solução geral do sistema:
çã

Resposta

A solução geral do sistema é
çã
onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais.

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