Aplique a variação de parâmetros para resolver o sistema dado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais usando variação de parâmetros. O enunciado nos dá um sistema linear não homogêneo onde precisamos encontrar a solução geral. Para isso, vamos precisar entender como resolver sistemas homogêneos e depois aplicar a variação de parâmetros para lidar com a parte não homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos focar no sistema homogêneo, que é quando a parte não homogênea é zero. Ou seja, vamos resolver:
Passo 3
Para resolver o sistema homogêneo, precisamos encontrar os valores próprios (autovalores) da matriz:
Os autovalores são encontrados resolvendo o determinante:
Calculando:
Resolvendo a equação quadrática:
Passo 4
Agora que temos os autovalores
e
, vamos encontrar os autovetores correspondentes.
Para
:
Resolvendo, encontramos que um autovetor é
.
Para
:
Resolvendo, encontramos que um autovetor é
.
Passo 5
Com os autovalores e autovetores, a solução geral do sistema homogêneo é:
Onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 6
Agora, vamos encontrar uma solução particular (
) para o sistema não homogêneo:
Usaremos a variação de parâmetros, que consiste em assumir que as constantes
e
agora são funções de
, ou seja,
e
.
Passo 7
Assumimos:
Calculamos a derivada
e substituímos de volta na equação original:
Após algumas manipulações (que envolvem resolver sistemas lineares para
e
), chegamos a:
Passo 8
Resolvendo o sistema para
e
, encontramos:
(Nota: Os detalhes do cálculo são mais extensos, mas essencialmente envolvem inversão de matrizes e integração.)
Após integrar, obtemos
e
, e assim a solução particular
.
Passo 9
Finalmente, juntamos a solução homogênea com a particular para obter a solução geral do sistema:
Resposta
A solução geral do sistema é
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.
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