Seja f: I R uma função real definida no intervalo aberto I. Mostre que
lim x a f(x)=L Leftrightarrow lim x a|f(x)-L|=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício sobre limites, um conceito fundamental no cálculo. A questão pede para mostrar que o limite de uma função quando se aproxima de é igual a se e somente se o limite de quando se aproxima de é igual a 0. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um limite existir e como a distância entre e se comporta perto de .

Passo 2

Primeiro, vamos provar que se , então .
O que isso quer dizer? Se o limite de é quando chega perto de , então a distância entre e deve ficar cada vez menor, ou seja, tende a zero.
Vamos lá:
Pela definição de limite:
Para todo , existe um tal que, se , então .
Isso é exatamente a definição de que , porque estamos dizendo que podemos fazer tão pequeno quanto quisermos (menor que qualquer ) quando está próximo de .
Então, mostramos que se , então .

Passo 3

Agora, vamos provar a direção contrária: se , então .
O que isso significa? Se a distância entre e tende a zero quando se aproxima de , então deve estar se aproximando de .
Vamos proceder:
Dado que , pela definição de limite:
Para todo , existe um tal que, se , então .
Simplificando, temos .
Isso é exatamente a definição de que , pois estamos afirmando que está a uma distância menor que de quando está próximo de .
Portanto, mostramos que se , então .

Resposta

Concluímos que se e somente se . Ou seja, a existência do limite de sendo igual a é equivalente a afirmar que a distância entre e tende a zero quando se aproxima de .

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