Seja
uma função real definida no intervalo aberto
. Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício sobre limites, um conceito fundamental no cálculo. A questão pede para mostrar que o limite de uma função
quando
se aproxima de
é igual a
se e somente se o limite de
quando
se aproxima de
é igual a 0. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um limite existir e como a distância entre
e
se comporta perto de
.
Passo 2
Primeiro, vamos provar que se
, então
.
O que isso quer dizer? Se o limite de
é
quando
chega perto de
, então a distância entre
e
deve ficar cada vez menor, ou seja, tende a zero.
Vamos lá:
Pela definição de limite:
Para todo
, existe um
tal que, se
, então
.
Isso é exatamente a definição de que
, porque estamos dizendo que podemos fazer
tão pequeno quanto quisermos (menor que qualquer
) quando
está próximo de
.
Então, mostramos que se
, então
.
Passo 3
Agora, vamos provar a direção contrária: se
, então
.
O que isso significa? Se a distância entre
e
tende a zero quando
se aproxima de
, então
deve estar se aproximando de
.
Vamos proceder:
Dado que
, pela definição de limite:
Para todo
, existe um
tal que, se
, então
.
Simplificando, temos
.
Isso é exatamente a definição de que
, pois estamos afirmando que
está a uma distância menor que
de
quando
está próximo de
.
Portanto, mostramos que se
, então
.
Resposta
Concluímos que
se e somente se
. Ou seja, a existência do limite de
sendo igual a
é equivalente a afirmar que a distância entre
e
tende a zero quando
se aproxima de
.