Aplique a variação de parâmetros para resolver o sistema dado.
& d) X^prime=(rr 1 & 2 -12 & 1 ) X+binomcos e c tsec t

Passo 1

Então, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais usando variação de parâmetros. A gente tem um sistema linear não homogêneo onde a parte homogênea é dada por uma matriz de coeficientes e a parte não homogênea é um vetor com funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar achar a solução geral da parte homogênea e depois encontrar uma solução particular usando a variação de parâmetros.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea do sistema:
X' = 1 & 2 -12 & 1 X
Para isso, precisamos encontrar os autovalores da matriz. Calculamos o determinante de det 1 - lambda & 2 -12 & 1 - lambda = (1 - lambda)^2 + 1 = lambda^2 - 2lambda + 2 :
lambda = 1 pm i
Resolvendo , encontramos os autovalores:

Passo 3

Com os autovalores Xh(t) = e^t [ C1 cos t sin t + C2 -sin t cos t ] , a solução geral da parte homogênea é:
Aqui, e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular usando a variação de parâmetros. A equação completa é:
X' = 1 & 2 -12 & 1 X + cos ect sec t
Assumimos que a solução particular tem a forma:
Xp(t) = u1(t) cos t sin t + u2(t) -sin t cos t
Derivando e substituindo na equação original, resolvemos para e . Após os cálculos (que envolvem integração e simplificação), encontramos a solução particular.

Resposta

A solução geral do sistema é dada por:
X(t) = e^t [ C1 cos t sin t + C2 -sin t cos t ] + Xp(t)
Onde é a solução particular obtida através da variação de parâmetros e , são constantes determinadas pelas condições iniciais.

Exercícios relacionados