Aplique a variação de parâmetros para resolver o sistema dado.
Passo 1
Então, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais usando variação de parâmetros. A gente tem um sistema linear não homogêneo onde a parte homogênea é dada por uma matriz de coeficientes e a parte não homogênea é um vetor com funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar achar a solução geral da parte homogênea e depois encontrar uma solução particular usando a variação de parâmetros.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea do sistema:
Para isso, precisamos encontrar os autovalores da matriz. Calculamos o determinante de
:
Resolvendo
, encontramos os autovalores:
Passo 3
Com os autovalores
, a solução geral da parte homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular usando a variação de parâmetros. A equação completa é:
Assumimos que a solução particular tem a forma:
Derivando
e substituindo na equação original, resolvemos para
e
. Após os cálculos (que envolvem integração e simplificação), encontramos a solução particular.
Resposta
A solução geral do sistema é dada por:
Onde
é a solução particular obtida através da variação de parâmetros e
,
são constantes determinadas pelas condições iniciais.