Encontrar a fórmula para a
-ésima soma parcial da série
e usá-la para encontrar a soma da série se ela convergir.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma série do tipo
. O objetivo é encontrar uma fórmula que represente a soma dos primeiros
termos dessa série e, depois, descobrir o valor dessa soma quando ela converge. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries geométricas, que são séries onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante chamada razão. Vamos precisar entender como funciona a soma parcial de uma série geométrica e as condições para que ela converja.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma geral:
Aqui,
é o primeiro termo e
é a razão da série, ou seja, o número pelo qual multiplicamos um termo para chegar ao próximo. No nosso caso, o primeiro termo
é
e a razão
é também
, já que cada termo seguinte é
vezes o anterior.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a fórmula para a soma parcial dos primeiros
termos de uma série geométrica. A fórmula para a soma parcial
é:
Substituindo os valores que temos:
Vamos simplificar o denominador:
Então, a fórmula fica:
E simplificando
para
:
Passo 4
Agora, vamos analisar se a série converge, ou seja, se existe um valor para a soma quando
tende ao infinito. Para uma série geométrica, ela converge se o valor absoluto da razão
for menor que 1 (
). No nosso caso,
, que claramente satisfaz essa condição.
A soma da série infinita
é dada por:
Substituindo os valores:
Resposta
A soma da série, quando ela converge, é
.