Encontrar a fórmula para a n-ésima soma parcial da série 9/100 + 9/100^2 + 9/100^3 + ... + 9/100^n + ... e usá-la para encontrar a soma da série se ela convergir.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma série do tipo . O objetivo é encontrar uma fórmula que represente a soma dos primeiros n termos dessa série e, depois, descobrir o valor dessa soma quando ela converge. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries geométricas, que são séries onde cada termo é obtido multiplicando o termo anterior por uma constante chamada razão. Vamos precisar entender como funciona a soma parcial de uma série geométrica e as condições para que ela converja.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma geral:
Aqui, a é o primeiro termo e r é a razão da série, ou seja, o número pelo qual multiplicamos um termo para chegar ao próximo. No nosso caso, o primeiro termo a é e a razão r é também , já que cada termo seguinte é vezes o anterior.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a fórmula para a soma parcial dos primeiros n termos de uma série geométrica. A fórmula para a soma parcial Sn é:
Substituindo os valores que temos:
Vamos simplificar o denominador:
Então, a fórmula fica:
E simplificando para :

Passo 4

Agora, vamos analisar se a série converge, ou seja, se existe um valor para a soma quando n tende ao infinito. Para uma série geométrica, ela converge se o valor absoluto da razão r for menor que 1 ( ). No nosso caso, , que claramente satisfaz essa condição.
A soma da série infinita S é dada por:
Substituindo os valores:

Resposta

A soma da série, quando ela converge, é .

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