Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais. O enunciado nos dá duas equações envolvendo as derivadas de e em relação ao tempo (representadas por e ), além das condições iniciais e . Para resolver, vamos precisar usar métodos de álgebra para manipular as equações e encontrar expressões para e .
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de forma mais clara:
Aqui, significa a derivada de em relação ao tempo, ou seja, , e o mesmo vale para .
Passo 3
Vamos tentar isolar uma das derivadas para facilitar. Da primeira equação:
Agora temos uma expressão para em termos de .
Passo 4
Agora, vamos substituir na segunda equação usando a expressão que encontramos:
Então, temos:
Passo 5
Agora, temos um sistema de equações com as derivadas isoladas:
Podemos escrever isso em forma de matriz para facilitar a solução:
Passo 6
Vamos resolver o sistema homogêneo associado primeiro:
Precisamos encontrar os autovalores da matriz:
Resolvendo a equação característica:
Passo 7
Com os autovalores complexos , a solução geral do sistema homogêneo é:
Onde e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 8
Agora, precisamos encontrar uma solução particular para o sistema não homogêneo. Observando o termo constante na primeira equação, tentamos uma solução constante:
Substituindo na equação:
Da primeira equação:
Da segunda: , o que não é possível. Isso indica que nossa suposição de solução constante não funciona, então tentamos uma solução linear:
Substituindo e resolvendo para , encontramos a solução particular.
Passo 9
Combinando a solução homogênea e a particular, a solução geral é:
Aplicamos as condições iniciais e para encontrar os valores das constantes e .