Resolva o sistema de EDO

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais. O enunciado nos dá duas equações envolvendo as derivadas de e em relação ao tempo (representadas por e ), além das condições iniciais e . Para resolver, vamos precisar usar métodos de álgebra para manipular as equações e encontrar expressões para e .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de forma mais clara:
Aqui, significa a derivada de em relação ao tempo, ou seja, , e o mesmo vale para .

Passo 3

Vamos tentar isolar uma das derivadas para facilitar. Da primeira equação:
Agora temos uma expressão para em termos de .

Passo 4

Agora, vamos substituir na segunda equação usando a expressão que encontramos:
Então, temos:

Passo 5

Agora, temos um sistema de equações com as derivadas isoladas:
Podemos escrever isso em forma de matriz para facilitar a solução:

Passo 6

Vamos resolver o sistema homogêneo associado primeiro:
Precisamos encontrar os autovalores da matriz:
Resolvendo a equação característica:

Passo 7

Com os autovalores complexos , a solução geral do sistema homogêneo é:
Onde e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 8

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para o sistema não homogêneo. Observando o termo constante na primeira equação, tentamos uma solução constante:
Substituindo na equação:
Da primeira equação:
Da segunda: , o que não é possível. Isso indica que nossa suposição de solução constante não funciona, então tentamos uma solução linear:
Substituindo e resolvendo para , encontramos a solução particular.

Passo 9

Combinando a solução homogênea e a particular, a solução geral é:
Aplicamos as condições iniciais e para encontrar os valores das constantes e .

Resposta

Após resolver todo o sistema, a solução para e é:

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