Após acionado o flash de uma câmara, a bateria imediatamente começa a recarregar o capacitor do flash, o qual armazena uma carga elétrica dada por
Q(t)=Q0(1-e^-ta)
em que Q0 é a capacidade máxima de carga e t é medido em segundos.
Encontre a função inversa e explique seu significado.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre como a bateria de uma câmera recarrega o capacitor do flash depois que é acionado. A carga elétrica armazenada no capacitor é dada pela fórmula:
Q(t) = Q0(1 - e^-ta)
Aqui, é a carga máxima que o capacitor pode armazenar, é o tempo em segundos, e é uma constante relacionada ao tempo de carregamento. Nosso objetivo é encontrar a função inversa dessa expressão e entender o que ela representa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma função inversa. Se temos uma função que nos dá a carga em função do tempo, a função inversa nos dirá quanto tempo leva para atingir uma certa carga . Basicamente, estamos invertendo a relação para descobrir em termos de .

Passo 3

Para encontrar a função inversa, começamos com a equação dada:
Q = Q0(1 - e^-ta)
Nosso objetivo é isolar nessa equação.

Passo 4

Primeiro, dividimos ambos os lados da equação por QQ0 = 1 - e^-ta :

Passo 5

Agora, subtraímos 1 de ambos os lados:
QQ0 - 1 = -e^-ta
Isso pode ser reescrito como:
- (1 - QQ0) = -e^-ta
Simplificando os sinais negativos:
1 - QQ0 = e^-ta

Passo 6

Agora, aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados para eliminar o exponencial:
ln(1 - QQ0) = -ta

Passo 7

Em seguida, multiplicamos ambos os lados por t = -a ln(1 - QQ0) para isolar :

Resposta

A função inversa é:
t(Q) = -a ln(1 - QQ0)
Isso significa que, para uma determinada carga armazenada no capacitor, o tempo necessário para alcançar essa carga durante o processo de recarga é dado por essa função.

Exercícios relacionados