Seja f:[0, infty) R uma função contínua, limitada e com derivada contínua e limitada em [0, infty). Considere L(f):[0, infty) R definida por
L(f)(s)=integral0^infty e^-s t f(t) d t
que é chamada de transformada de Laplace de f.
Mostre que
L(f^prime)(s)=s L(f)(s)-f(0), para cada s >= 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre transformada de Laplace. A questão pede para mostrar que a transformada de Laplace da derivada de uma função L(f^prime)(s)=s L(f)(s)-f(0) é igual a vezes a transformada de menos o valor de em zero, ou seja:
Para chegar nessa conclusão, vamos precisar entender o que é a transformada de Laplace e como ela se aplica a derivadas. Vamos resolver isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição da transformada de Laplace. Para uma função L(f)(s) = integral0^infty e^-s t f(t) , dt definida para , a transformada de Laplace é dada por:
Aqui, é uma variável complexa, mas vamos considerar para simplificar.

Passo 3

Agora, queremos encontrar a transformada de Laplace da derivada de L(f')(s) = integral0^infty e^-s t f'(t) , dt , ou seja, . Vamos começar aplicando a definição da transformada de Laplace a :

Passo 4

Para resolver essa integral, vamos usar a técnica de integração por partes. A integração por partes é baseada na fórmula:
integral u , dv = u v - integral v , du
Nesse caso, vamos escolher e de modo que possamos simplificar a integral.

Passo 5

Vamos definir:
u = e^-s t e dv = f'(t) , dt
Então, calculamos du = -s e^-s t , dt e v = f(t) e :

Passo 6

Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral0^infty e^-s t f'(t) , dt = [ e^-s t f(t) ]0^infty - integral0^infty f(t) (-s e^-s t) , dt

Passo 7

Vamos analisar o primeiro termo, [ e^-s t f(t) ]0^infty = 0 - e^0 f(0) = -f(0) . Considerando que é limitada e tende a zero quando tende ao infinito, temos:

Passo 8

Agora, simplificamos a segunda integral:
- integral0^infty f(t) (-s e^-s t) , dt = s integral0^infty e^-s t f(t) , dt = s L(f)(s)

Passo 9

Juntando os resultados dos passos anteriores, temos:
L(f')(s) = -f(0) + s L(f)(s)
Ou seja:
L(f^prime)(s)=s L(f)(s)-f(0)

Resposta

L(f^prime)(s)=s L(f)(s)-f(0)

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