Seja
uma função contínua, limitada e com derivada contínua e limitada em
. Considere
definida por
que é chamada de transformada de Laplace de
.
Mostre que
Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre transformada de Laplace. A questão pede para mostrar que a transformada de Laplace da derivada de uma função
é igual a
vezes a transformada de
menos o valor de
em zero, ou seja:
Para chegar nessa conclusão, vamos precisar entender o que é a transformada de Laplace e como ela se aplica a derivadas. Vamos resolver isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição da transformada de Laplace. Para uma função
definida para
, a transformada de Laplace é dada por:
Aqui,
é uma variável complexa, mas vamos considerar
para simplificar.
Passo 3
Agora, queremos encontrar a transformada de Laplace da derivada de
, ou seja,
. Vamos começar aplicando a definição da transformada de Laplace a
:
Passo 4
Para resolver essa integral, vamos usar a técnica de integração por partes. A integração por partes é baseada na fórmula:
Nesse caso, vamos escolher
e
de modo que possamos simplificar a integral.
Passo 5
Vamos definir:
Então, calculamos
e
:
Passo 6
Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:
Passo 7
Vamos analisar o primeiro termo,
. Considerando que
é limitada e
tende a zero quando
tende ao infinito, temos:
Passo 8
Agora, simplificamos a segunda integral:
Passo 9
Juntando os resultados dos passos anteriores, temos:
Ou seja:
Resposta
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.
, onde
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. Resposta:
.
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, também com
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.