Seja uma função contínua, limitada e com derivada contínua e limitada em . Considere definida por
que é chamada de transformada de Laplace de .
Mostre que

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre transformada de Laplace. A questão pede para mostrar que a transformada de Laplace da derivada de uma função é igual a vezes a transformada de menos o valor de em zero, ou seja:
Para chegar nessa conclusão, vamos precisar entender o que é a transformada de Laplace e como ela se aplica a derivadas. Vamos resolver isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição da transformada de Laplace. Para uma função definida para , a transformada de Laplace é dada por:
Aqui, é uma variável complexa, mas vamos considerar para simplificar.

Passo 3

Agora, queremos encontrar a transformada de Laplace da derivada de , ou seja, . Vamos começar aplicando a definição da transformada de Laplace a :

Passo 4

Para resolver essa integral, vamos usar a técnica de integração por partes. A integração por partes é baseada na fórmula:
Nesse caso, vamos escolher e de modo que possamos simplificar a integral.

Passo 5

Vamos definir:
Então, calculamos e :

Passo 6

Agora, aplicamos a fórmula de integração por partes:

Passo 7

Vamos analisar o primeiro termo, . Considerando que é limitada e tende a zero quando tende ao infinito, temos:

Passo 8

Agora, simplificamos a segunda integral:

Passo 9

Juntando os resultados dos passos anteriores, temos:
Ou seja:

Resposta

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