Determine as fórmulas para f circ g e g circ f. (d) f(x)=x1+x^2, g(x)=1x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir as fórmulas para a composição das funções f(x) = x1 + x^2 e g(x) = 1x . As funções dadas são:
Vamos usar o conteúdo de composição de funções para resolver isso. Precisamos entender como uma função se comporta quando aplicada dentro da outra.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é composição de funções. Quando temos duas funções, (f circ g)(x) = f(g(x)) e (g circ f)(x) = g(f(x)) , a composição significa que a gente primeiro aplica e depois aplica no resultado. Matematicamente, é assim:
E vice-versa para :
Agora vamos aplicar isso nas funções que a gente tem.

Passo 3

Vamos encontrar (f circ g)(x) = f(g(x)) = f(1x) :
f(1x) = 1x1 + (1x)^2
Substituindo 1 + (1x)^2 = 1 + 1x^2 = x^2 + 1x^2 na fórmula de 1xx^2 + 1x^2 = 1x times x^2x^2 + 1 = xx^2 + 1 :
(f circ g)(x) = x1 + x^2
Simplificando o denominador:
Agora, dividindo:
Então:

Passo 4

Agora vamos encontrar (g circ f)(x) = g(f(x)) = g(x1 + x^2) :
g(x1 + x^2) = 1x1 + x^2
Substituindo 1 + x^2x na fórmula de (g circ f)(x) = 1 + x^2x :
Invertendo a fração:
Então:

Resposta

As fórmulas das composições são:
f circ g (x) = x1 + x^2
g circ f (x) = 1 + x^2x

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