Calcule a integral dupla sobre os retangulos . , onde

Passo 1

Resumo do problema: Vamos calcular a integral dupla sobre o retângulo da função . Para resolver isso, vamos usar técnicas de integração dupla e substituição. Precisaremos integrar primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Configuração da integral dupla: A integral que queremos calcular é:
Aqui, estamos integrando de 0 a 1 e de 0 a 2.

Passo 3

Focando na integral interna: Vamos primeiro resolver a integral em relação a :
Para simplificar essa integral, vamos usar uma substituição.

Passo 4

Substituição: Seja . Então, derivando em relação a :
Substituindo na integral:
A integral de em relação a é simplesmente , então:

Passo 5

Avaliando os limites da integral interna: Substituímos de volta e aplicamos os limites de 0 a 1 para :

Passo 6

Substituindo na integral dupla: Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:

Passo 7

Resolvendo as integrais externas: Calculamos cada integral separadamente:
Simplificando:

Resposta

O valor da integral dupla é .

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