Calcule a integral dupla sobre os retangulos R. integral duplaR x y e^x^2 y d A, onde R=[0,1] times[0,2]

Passo 1

Resumo do problema: Vamos calcular a integral dupla sobre o retângulo da função . Para resolver isso, vamos usar técnicas de integração dupla e substituição. Precisaremos integrar primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Configuração da integral dupla: A integral que queremos calcular é:
integral duplaR x y e^x^2 y , dA = integral0^2 integral0^1 x y e^x^2 y , dx , dy
Aqui, estamos integrando de 0 a 1 e de 0 a 2.

Passo 3

Focando na integral interna: Vamos primeiro resolver a integral em relação a integral0^1 x y e^x^2 y , dx :
Para simplificar essa integral, vamos usar uma substituição.

Passo 4

Substituição: Seja dudx = 2x y implies dx = du2x y . Então, derivando em relação a integral x y e^x^2 y , dx = integral e^u cdot du2 = 12 integral e^u , du :
12 e^u + C = 12 e^x^2 y + C
Substituindo na integral:
A integral de em relação a é simplesmente , então:

Passo 5

Avaliando os limites da integral interna: Substituímos de volta e aplicamos os limites de 0 a 1 para integral0^1 x y e^x^2 y , dx = [ 12 e^x^2 y ]0^1 = 12 e^y - 12 e^0 = 12 e^y - 12 :

Passo 6

Substituindo na integral dupla: Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral0^2 ( 12 e^y - 12 ) , dy = 12 integral0^2 e^y , dy - 12 integral0^2 1 , dy

Passo 7

Resolvendo as integrais externas: Calculamos cada integral separadamente:
12 [e^y]0^2 - 12 [y]0^2 = 12 (e^2 - 1) - 12 (2 - 0) = 12 e^2 - 12 - 1
Simplificando:
12 e^2 - 32

Resposta

O valor da integral dupla é .

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