Calcule a integral dupla sobre os retangulos
.
, onde
Passo 1
Resumo do problema: Vamos calcular a integral dupla sobre o retângulo
da função
. Para resolver isso, vamos usar técnicas de integração dupla e substituição. Precisaremos integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
.
Passo 2
Configuração da integral dupla: A integral que queremos calcular é:
Aqui, estamos integrando
de 0 a 1 e
de 0 a 2.
Passo 3
Focando na integral interna: Vamos primeiro resolver a integral em relação a
:
Para simplificar essa integral, vamos usar uma substituição.
Passo 4
Substituição: Seja
. Então, derivando em relação a
:
Substituindo na integral:
A integral de
em relação a
é simplesmente
, então:
Passo 5
Avaliando os limites da integral interna: Substituímos de volta e aplicamos os limites de 0 a 1 para
:
Passo 6
Substituindo na integral dupla: Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Passo 7
Resolvendo as integrais externas: Calculamos cada integral separadamente:
Simplificando:
Resposta
O valor da integral dupla é
.
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em que
é a capacidade máxima de carga e
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Encontre a função inversa e explique seu significado.
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Determine as fórmulas para
e
. (d)
Seja
uma função contínua, limitada e com derivada contínua e limitada em
. Considere
definida por
que é chamada de transformada de Laplace de
.
Mostre que
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; massa específica
; ângulo
) num tubo capilar de diâmetro de
. Resposta:
.