Uma v.a.c. apresenta a seguinte função densidade de probabilidade:
i) Qual o valor da constante C? ii) Determine e .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma variável aleatória contínua (v.a.c.) com uma função densidade de probabilidade definida por:
á
Temos duas partes para resolver:
i) Encontrar o valor da constante .
ii) Calcular as probabilidades e .
Para resolver isso, vamos precisar entender que a função densidade de probabilidade (f.d.p.) de uma variável contínua deve integrar para 1 em todo o seu domínio. Isso nos ajudará a encontrar . Depois, vamos calcular as integrais apropriadas para achar as probabilidades pedidas.
Passo 2
Vamos começar determinando o valor de . Sabemos que a integral da função densidade de probabilidade em todo o seu domínio deve ser igual a 1. Então, temos:
Como fora de , podemos simplificar para:
Passo 3
Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeiro, a integral de de 0 a :
Passo 4
Agora, a integral de de a 1:
Simplificando:
Passo 5
Somando as duas integrais:
Para encontrar :
Passo 6
Agora que sabemos que , vamos calcular as probabilidades solicitadas.
Primeiro, :
Isso significa a integral de de 0 a :
Passo 7
Segundo, :
Vamos dividir essa probabilidade em duas partes, porque a função muda no ponto :