Uma v.a.c. apresenta a seguinte função densidade de probabilidade:
á
i) Qual o valor da constante C? ii) Determine e .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma variável aleatória contínua (v.a.c.) com uma função densidade de probabilidade definida por:
á
Temos duas partes para resolver:
i) Encontrar o valor da constante .
ii) Calcular as probabilidades e .
Para resolver isso, vamos precisar entender que a função densidade de probabilidade (f.d.p.) de uma variável contínua deve integrar para 1 em todo o seu domínio. Isso nos ajudará a encontrar . Depois, vamos calcular as integrais apropriadas para achar as probabilidades pedidas.

Passo 2

Vamos começar determinando o valor de . Sabemos que a integral da função densidade de probabilidade em todo o seu domínio deve ser igual a 1. Então, temos:
Como fora de , podemos simplificar para:

Passo 3

Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeiro, a integral de de 0 a :

Passo 4

Agora, a integral de de a 1:
Simplificando:

Passo 5

Somando as duas integrais:
Para encontrar :

Passo 6

Agora que sabemos que , vamos calcular as probabilidades solicitadas.
Primeiro, :
Isso significa a integral de de 0 a :

Passo 7

Segundo, :
Vamos dividir essa probabilidade em duas partes, porque a função muda no ponto :
  1. De a :
  2. De a :
Então:
Calculando cada integral:
Primeira parte:
Segunda parte:
Simplificando:
Somando as duas partes:

Resposta

i) O valor da constante é 4.
ii) e .

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