Uma v.a.c. apresenta a seguinte função densidade de probabilidade:
f(x)= C x, & 0 <= x <= 12 C(1-x), & 12á
i) Qual o valor da constante C? ii) Determine P(X <= 12) e P(14 <= X <= 34).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma variável aleatória contínua (v.a.c.) com uma função densidade de probabilidade definida por:
f(x)= C x, & 0 <= x <= 12 C(1-x), & 12 < x < 1 0, & caso contrário á
Temos duas partes para resolver:
i) Encontrar o valor da constante .
ii) Calcular as probabilidades e .
Para resolver isso, vamos precisar entender que a função densidade de probabilidade (f.d.p.) de uma variável contínua deve integrar para 1 em todo o seu domínio. Isso nos ajudará a encontrar . Depois, vamos calcular as integrais apropriadas para achar as probabilidades pedidas.

Passo 2

Vamos começar determinando o valor de integral-infty^+infty f(x) , dx = 1 . Sabemos que a integral da função densidade de probabilidade em todo o seu domínio deve ser igual a 1. Então, temos:
integral0^12 Cx , dx + integral12^1 C(1 - x) , dx = 1
Como fora de , podemos simplificar para:

Passo 3

Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeiro, a integral de integral0^12 Cx , dx = C [ x^22 ]0^12 = C ( (12)^22 - 0 ) = C ( 18 ) = C8 de 0 a :

Passo 4

Agora, a integral de integral12^1 C(1 - x) , dx = C [ x - x^22 ]12^1 = C ( (1 - 12) - (12 - (12)^22) ) de = C ( 12 - (12 - 18) ) = C ( 12 - 12 + 18 ) = C ( 18 ) = C8 a 1:
Simplificando:

Passo 5

Somando as duas integrais:
C8 + C8 = C4 = 1
Para encontrar C4 = 1 implies C = 4 :

Passo 6

Agora que sabemos que P(X <= 12) = integral0^12 4x , dx = 4 [ x^22 ]0^12 = 4 times 18 = 12 , vamos calcular as probabilidades solicitadas.
Primeiro, :
Isso significa a integral de de 0 a :

Passo 7

Segundo, P(14 <= X <= 34) = integral14^12 4x , dx + integral12^34 4(1 - x) , dx :
Vamos dividir essa probabilidade em duas partes, porque a função muda no ponto integral14^12 4x , dx = 4 [ x^22 ]14^12 = 4 ( 18 - 132 ) = 4 times 332 = 38 :
  1. De integral12^34 4(1 - x) , dx = 4 [ x - x^22 ]12^34 = 4 ( ( 34 - 932 ) - ( 12 - 18 ) ) a = 4 ( 1532 - 38 ) = 4 ( 1532 - 1232 ) = 4 times 332 = 38 : 38 + 38 = 68 = 34
  2. De a :
Então:
Calculando cada integral:
Primeira parte:
Segunda parte:
Simplificando:
Somando as duas partes:

Resposta

i) O valor da constante é 4.
ii) e .

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