Suponha que o salário R de um funcionário de uma fábrica seja uma variável aleatória com função densidade de probabilidade de um funcionário de uma fábrica seja uma variável a<=atória com função densidade de probabilidade para para e e para para .
(a) Determine (a) Determine para que para que seja uma função densidade de probabilidade.
(b) Qual a probabilidade de o salário ser menor que seja uma função densidade de probabilidade (b) Qual a probabilidade de o salário ser menor que ?
© Qual a probabilidade de o salário estar compreendido entre 1.000,00 e R ?
(d) Se a fábrica tem 3200 funcionários, qual o número esperado de funcionários com salários entre e e 5.000,00 ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um problema de probabilidade envolvendo a distribuição do salário de um funcionário. O enunciado diz que o salário segue uma função densidade de probabilidade para e para . Vamos precisar usar conceitos de funções densidade de probabilidade e cálculo de integrais para resolver as partes (a), (b), © e (d).

Passo 2

(a) Determinando o valor de integral400^infty k x^-2 , dx = 1 :
Para que integral x^-2 , dx = -x^-1 + C seja uma função densidade de probabilidade válida, a integral de k [ -1x ]400^infty = k ( 0 - (-1400) ) = k ( 1400 ) = 1 em todo o seu domínio deve ser igual a 1. Ou seja:
k = 400
Vamos resolver essa integral:
Aplicando os limites de integração:
Agora, isolamos :

Passo 3

(b) Probabilidade do salário ser menor que P(X < 1000) = integral400^1000 400 x^-2 , dx :
Queremos encontrar 400 integral x^-2 , dx = 400 [ -1x ]400^1000 = 400 ( -11000 + 1400 ) = 400 ( -1 + 2.51000 ) = 400 ( 1.51000 ) = 400 times 0.0015 = 0.6 . Sabemos que a função densidade é válida para , então:
Resolvendo a integral:
Portanto, a probabilidade é de 0,6 ou 60%.

Passo 4

© Probabilidade do salário estar entre 2.000,00 ) e ( R e P(2000 <= X <= 5000) = integral2000^5000 400 x^-2 , dx :
Precisamos calcular 400 [ -1x ]2000^5000 = 400 ( -15000 + 12000 ) = 400 ( -0.0002 + 0.00051 ) = 400 times 0.0003 = 0.12 :
Resolvendo a integral:
Então, a probabilidade é de 0,12 ou 12%.

Passo 5

(d) Número esperado de funcionários com salários entre 2.000,00 ) e ( R e 2.000,00 ) e ( R:
Sabemos que há 3200 funcionários na fábrica e a probabilidade de um funcionário ter salário entre Número esperado = 3200 times 0.12 = 384 e é de 12% (0,12).
O número esperado é dado por:
ú

Resposta

(a) 2.000,00 ) e ( R
(b) ou 60%
© ou 12%
(d) Número esperado de funcionários com salários entre e é 384.

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