Suponha que o salário de um funcionário de uma fábrica seja uma variável aleatória com função densidade de probabilidade para e para .
(a) Determine para que seja uma função densidade de probabilidade.
(b) Qual a probabilidade de o salário ser menor que ?
© Qual a probabilidade de o salário estar compreendido entre e ?
(d) Se a fábrica tem 3200 funcionários, qual o número esperado de funcionários com salários entre e ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um problema de probabilidade envolvendo a distribuição do salário de um funcionário. O enunciado diz que o salário segue uma função densidade de probabilidade para e para . Vamos precisar usar conceitos de funções densidade de probabilidade e cálculo de integrais para resolver as partes (a), (b), © e (d).

Passo 2

(a) Determinando o valor de :
Para que seja uma função densidade de probabilidade válida, a integral de em todo o seu domínio deve ser igual a 1. Ou seja:
Vamos resolver essa integral:
Aplicando os limites de integração:
Agora, isolamos :

Passo 3

(b) Probabilidade do salário ser menor que :
Queremos encontrar . Sabemos que a função densidade é válida para , então:
Resolvendo a integral:
Portanto, a probabilidade é de 0,6 ou 60%.

Passo 4

© Probabilidade do salário estar entre e :
Precisamos calcular :
Resolvendo a integral:
Então, a probabilidade é de 0,12 ou 12%.

Passo 5

(d) Número esperado de funcionários com salários entre e :
Sabemos que há 3200 funcionários na fábrica e a probabilidade de um funcionário ter salário entre e é de 12% (0,12).
O número esperado é dado por:
ú

Resposta

(a)
(b) ou 60%
© ou 12%
(d) Número esperado de funcionários com salários entre e é 384.

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á
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