Suponha que o salário
de um funcionário de uma fábrica seja uma variável aleatória com função densidade de probabilidade
para
e
para
.
(a) Determine
para que
seja uma função densidade de probabilidade.
(b) Qual a probabilidade de o salário ser menor que
?
© Qual a probabilidade de o salário estar compreendido entre
e
?
(d) Se a fábrica tem 3200 funcionários, qual o número esperado de funcionários com salários entre
e
?
(a) Determine
(b) Qual a probabilidade de o salário ser menor que
© Qual a probabilidade de o salário estar compreendido entre
(d) Se a fábrica tem 3200 funcionários, qual o número esperado de funcionários com salários entre
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um problema de probabilidade envolvendo a distribuição do salário de um funcionário. O enunciado diz que o salário
segue uma função densidade de probabilidade
para
e
para
. Vamos precisar usar conceitos de funções densidade de probabilidade e cálculo de integrais para resolver as partes (a), (b), © e (d).
Passo 2
(a) Determinando o valor de
:
Para que seja uma função densidade de probabilidade válida, a integral de
em todo o seu domínio deve ser igual a 1. Ou seja:
Para que
Vamos resolver essa integral:
Aplicando os limites de integração:
Agora, isolamos
:
Passo 3
(b) Probabilidade do salário ser menor que
:
Queremos encontrar . Sabemos que a função densidade é válida para
, então:
Queremos encontrar
Resolvendo a integral:
Portanto, a probabilidade é de 0,6 ou 60%.
Passo 4
© Probabilidade do salário estar entre
e
:
Precisamos calcular :
Precisamos calcular
Resolvendo a integral:
Então, a probabilidade é de 0,12 ou 12%.
Passo 5
(d) Número esperado de funcionários com salários entre
e
:
Sabemos que há 3200 funcionários na fábrica e a probabilidade de um funcionário ter salário entre e
é de 12% (0,12).
Sabemos que há 3200 funcionários na fábrica e a probabilidade de um funcionário ter salário entre
O número esperado é dado por:
Resposta
(a)
(b) ou 60%
© ou 12%
(d) Número esperado de funcionários com salários entre e
é 384.
(b)
©
(d) Número esperado de funcionários com salários entre
Exercícios relacionados
Suponha que a mesma média amostral tenha sido obtida de uma amostra de 120 itens. Forneça um intervalo de confiança de 95% para a média populacional.
Seja
uma função densidade de probabilidade dada por:
Encontre o valor de
.
Sabe-se que o intervalo de confiança de 95% para uma média populacional é de 152 a 160. Se
, qual tamanho amostral foi utilizado nesse estudo?
Uma v.a.c. apresenta a seguinte função densidade de probabilidade:
i) Qual o valor da constante C? ii) Determine
e
.