As indústrias químicas têm alto custo de pesquisa para descobrir novas formas para agilizar certas reações químicas. Quanto mais rápido elas ocorram, mais economicamente interessante passam a ser essas reações, pois aumentam seu potencial de lucro. Uma maneira muito conhecida de acelerar reações é a utilização de catalisadores. Uma das formas de aceleração é a catalisação por enzimas. O estudo do efeito das enzimas em reações químicas é chamado cinética enzimática. Boa parte da cinética enzimática envolve justamente distribuições exponenciais, uma vez que foi descoberto que essa distribuição se adéqua à realidade. Considerando que uma dessas reações com catalisação de enzimas demore em média 4.000 segundos, calcule:
(a) a probabilidade de uma reação durar mais de 2.000 segundos.
(b) a probabilidade de uma reação durar pelo menos 6.000 segundos, sabendo-se que ela já durou 4.000 segundos?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Estamos lidando com cinética enzimática, que envolve distribuições exponenciais para modelar o tempo que uma reação química demora para acontecer. Sabemos que, em média, uma reação com catalisação enzimática leva 4.000 segundos. Precisamos calcular duas probabilidades relacionadas ao tempo que a reação demora para ocorrer.

Passo 2

Vamos usar a distribuição exponencial, que é adequada para modelar o tempo entre eventos em um processo de Poisson. A função de densidade da distribuição exponencial é:
Onde é a taxa de ocorrência por unidade de tempo.

Passo 3

Sabemos que a média de uma distribuição exponencial é . Aqui, a média é 4.000 segundos, então temos:

Passo 4

(a) Queremos encontrar a probabilidade de uma reação durar mais de 2.000 segundos. Isso é dado pela função de sobrevivência da distribuição exponencial:
Substituindo e :

Passo 5

Calculando :

Passo 6

Portanto, a probabilidade de uma reação durar mais de 2.000 segundos é aproximadamente 60,65%.

Passo 7

(b) Queremos a probabilidade de uma reação durar pelo menos 6.000 segundos, sabendo que já durou 4.000 segundos. Isso é uma probabilidade condicional, dada por:
Usando a função de sobrevivência:

Passo 8

Substituindo :

Resposta

(a) Aproximadamente 60,65%; (b) Aproximadamente 60,65%.

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Uma v.a.c. apresenta a seguinte função densidade de probabilidade:
á
i) Qual o valor da constante C? ii) Determine e .
Uma urna tem 30 bolas brancas e 20 verdes. Retira-se 1 bola dessa urna. Definindo como o número de bolas verdes, encontre:
(a) O parâmetro da distribuição de .
(b) A esperança de .
© A variância de .
Indique se a alternativa é verdadeira ou falsa. Caso seja falsa, justifique ## sua resposta. A probabilidade de o intervalo de confiança conter a média amostral é de .