As indústrias químicas têm alto custo de pesquisa para descobrir novas formas para agilizar certas reações químicas. Quanto mais rápido elas ocorram, mais economicamente interessante passam a ser essas reações, pois aumentam seu potencial de lucro. Uma maneira muito conhecida de acelerar reações é a utilização de catalisadores. Uma das formas de aceleração é a catalisação por enzimas. O estudo do efeito das enzimas em reações químicas é chamado cinética enzimática. Boa parte da cinética enzimática envolve justamente distribuições exponenciais, uma vez que foi descoberto que essa distribuição se adéqua à realidade. Considerando que uma dessas reações com catalisação de enzimas demore em média 4.000 segundos, calcule:
(a) a probabilidade de uma reação durar mais de 2.000 segundos.
(b) a probabilidade de uma reação durar pelo menos 6.000 segundos, sabendo-se que ela já durou 4.000 segundos?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Estamos lidando com cinética enzimática, que envolve distribuições exponenciais para modelar o tempo que uma reação química demora para acontecer. Sabemos que, em média, uma reação com catalisação enzimática leva 4.000 segundos. Precisamos calcular duas probabilidades relacionadas ao tempo que a reação demora para ocorrer.
Passo 2
Vamos usar a distribuição exponencial, que é adequada para modelar o tempo entre eventos em um processo de Poisson. A função de densidade da distribuição exponencial é:
Onde é a taxa de ocorrência por unidade de tempo.
Passo 3
Sabemos que a média de uma distribuição exponencial é . Aqui, a média é 4.000 segundos, então temos:
Passo 4
(a) Queremos encontrar a probabilidade de uma reação durar mais de 2.000 segundos. Isso é dado pela função de sobrevivência da distribuição exponencial:
Substituindo e :
Passo 5
Calculando :
Passo 6
Portanto, a probabilidade de uma reação durar mais de 2.000 segundos é aproximadamente 60,65%.
Passo 7
(b) Queremos a probabilidade de uma reação durar pelo menos 6.000 segundos, sabendo que já durou 4.000 segundos. Isso é uma probabilidade condicional, dada por:
Usando a função de sobrevivência:
Passo 8
Substituindo :
Resposta
(a) Aproximadamente 60,65%; (b) Aproximadamente 60,65%.