Sabe-se que o intervalo de confiança de 95% para uma média populacional é de 152 a 160. Se , qual tamanho amostral foi utilizado nesse estudo?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um intervalo de confiança de 95% para a média populacional que vai de 152 a 160. Além disso, sabemos que o desvio padrão da população ( ) é 15. O que queremos descobrir é qual foi o tamanho da amostra ( ) utilizado nesse estudo.

Passo 2

Para encontrar o tamanho da amostra, precisamos usar a fórmula do intervalo de confiança para a média quando o desvio padrão da população é conhecido. A fórmula é:
Aqui:
  • é a média amostral.
  • é o valor crítico da distribuição normal para o nível de confiança desejado.
  • é o desvio padrão da população.
  • é o tamanho da amostra que queremos encontrar.

Passo 3

O intervalo de confiança dado é de 152 a 160. Podemos calcular a margem de erro ( ) que é a distância da média amostral até cada extremidade do intervalo. Como o intervalo vai de 152 a 160, a margem de erro é:

Passo 4

Sabemos que para um nível de confiança de 95%, o valor crítico é aproximadamente 1,96. Isso significa que:
Substituindo os valores conhecidos:

Passo 5

Agora, vamos isolar na equação:
Calculando o lado direito:

Passo 6

Para encontrar , basta elevar ambos os lados ao quadrado:
Como o tamanho da amostra deve ser um número inteiro, arredondamos para o número mais próximo.

Resposta

O tamanho amostral utilizado nesse estudo foi de 54.

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á
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