Sabe-se que o intervalo de confiança de 95% para uma média populacional é de 152 a 160. Se , qual tamanho amostral foi utilizado nesse estudo?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um intervalo de confiança de 95% para a média populacional que vai de 152 a 160. Além disso, sabemos que o desvio padrão da população () é 15. O que queremos descobrir é qual foi o tamanho da amostra () utilizado nesse estudo.
Passo 2
Para encontrar o tamanho da amostra, precisamos usar a fórmula do intervalo de confiança para a média quando o desvio padrão da população é conhecido. A fórmula é:
Aqui:
é a média amostral.
é o valor crítico da distribuição normal para o nível de confiança desejado.
é o desvio padrão da população.
é o tamanho da amostra que queremos encontrar.
Passo 3
O intervalo de confiança dado é de 152 a 160. Podemos calcular a margem de erro () que é a distância da média amostral até cada extremidade do intervalo. Como o intervalo vai de 152 a 160, a margem de erro é:
Passo 4
Sabemos que para um nível de confiança de 95%, o valor crítico é aproximadamente 1,96. Isso significa que:
Substituindo os valores conhecidos:
Passo 5
Agora, vamos isolar na equação:
Calculando o lado direito:
Passo 6
Para encontrar , basta elevar ambos os lados ao quadrado:
Como o tamanho da amostra deve ser um número inteiro, arredondamos para o número mais próximo.
Resposta
O tamanho amostral utilizado nesse estudo foi de 54.