Em uma apresentação aérea de acrobacias, um avião descreve um arco no formato de uma parábola de acordo com a seguinte função y = –x² + 30x. Determine a altura máxima atingida pelo avião.
A) 900 m;
B) 750 m;
C) 250 m;
D) 150 m; Uma empresa produz um determinado produto com o custo definido pela seguinte função C(x) = x² – 40x + 300. Considerando o custo C em reais e x a quantidade de unidades produzidas, determine a quantidade de unidades para que o custo seja mínimo.
A) 40 unidades;
B) 30 unidades;
C) 20 unidades; D) 10 unidades;
A) 900 m;
B) 750 m;
C) 250 m;
D) 150 m; Uma empresa produz um determinado produto com o custo definido pela seguinte função C(x) = x² – 40x + 300. Considerando o custo C em reais e x a quantidade de unidades produzidas, determine a quantidade de unidades para que o custo seja mínimo.
A) 40 unidades;
B) 30 unidades;
C) 20 unidades; D) 10 unidades;
Passo 1
Vamos resolver duas questões aqui. A primeira envolve encontrar a altura máxima que um avião atinge durante uma manobra aérea descrita por uma parábola. O conteúdo que vamos usar é funções quadráticas e vértice da parábola. Na segunda questão, precisamos determinar a quantidade de unidades produzidas para que o custo seja mínimo, usando novamente funções quadráticas.
Primeira Questão: Altura Máxima do Avião
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que descreve a trajetória do avião: $ y = -x^2 + 30x $. Essa é uma função quadrática onde:
- $ a = -1 $ (coeficiente de $ x^2 $)
- $ b = 30 $ (coeficiente de $ x $)
Como $ a $ é negativo, a parábola abre para baixo, o que significa que existe um ponto máximo.
Passo 3
Para encontrar a altura máxima, precisamos encontrar o vértice da parábola. A fórmula para a coordenada $ x $ do vértice é:
Passo 4
Substituindo os valores de $ a $ e $ b $:
Então, o avião atinge a altura máxima quando $ x = 15 $ metros.
Passo 5
Agora, substituímos $ x_v $ na função original para encontrar $ y_v $, que é a altura máxima:
Passo 6
Agora, vamos para a segunda questão. A função de custo é $ C(x) = x^2 - 40x + 300 $. Essa também é uma função quadrática onde:
- $ a = 1 $ (coeficiente de $ x^2 $)
- $ b = -40 $ (coeficiente de $ x $)
Como $ a $ é positivo, a parábola abre para cima, indicando que existe um ponto mínimo.
Passo 7
Para encontrar a quantidade de unidades que minimiza o custo, usamos a fórmula do vértice:
Passo 8
Substituindo os valores de $ a $ e $ b $:
Resposta
A quantidade de unidades que minimiza o custo é 20 unidades, que corresponde à opção C) 20 unidades.