Rejeitos radioativos ( kr=20 W / m K ) são armazenados em um recipiente esférico de aço inoxidável ( ka=15 W / m K ), com raios interno e externo iguais a ri=0,5 m e re= 0,6 m. Calor é gerado no interior dos rejeitos a uma taxa volumétrica uniforme de 10^5 W / m^3 e a superfície externa do recipiente está exposta a um escoamento de água no qual h=1000 W /(m^2 K) e Tinfty=25^circ C. Calcule as temperaturas da superfície externa e interna do recipiente em condições de estado estacionário e também a temperatura no centro do rejeito ( r=0 ).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos rejeitos radioativos armazenados dentro de um recipiente esférico de aço inoxidável. A gente precisa descobrir as temperaturas na superfície externa e interna do recipiente quando o sistema está em equilíbrio térmico, além da temperatura no centro dos rejeitos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de condução de calor em esferas com geração interna de calor.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a condução de calor dentro dos rejeitos. Como há uma geração de calor uniforme, usamos a equação de condução de calor em coordenadas esféricas com geração interna:
1r^2 ddr ( r^2 dTdr ) + qkr = 0
Onde:
  • é a temperatura,
  • é a distância do centro,
  • é a taxa de geração de calor,
  • é a condutividade térmica dos rejeitos.

Passo 3

Resolvendo a equação diferencial, integramos duas vezes:
Primeira integração:
r^2 dTdr = -qkr r^33 + C1
Segunda integração:
T(r) = -q6 kr r^2 + C1r + C2

Passo 4

Agora, vamos considerar a condução de calor através do recipiente de aço inoxidável. A equação de condução sem geração de calor é:
1r^2 ddr ( r^2 dTdr ) = 0
Integrando duas vezes, temos:
T(r) = -C3r + C4

Passo 5

Aplicamos as condições de contorno para unir as soluções das duas regiões (rejeitos e aço inoxidável). As condições são:
  1. Continuidade da temperatura na interface .
  2. Continuidade do fluxo de calor na interface.
  3. Condição de convecção na superfície externa .

Passo 6

Resolvendo as equações com as condições de contorno, encontramos as constantes e . Após os cálculos, obtemos as expressões para nas duas regiões.

Passo 7

Calculamos as temperaturas:
  • Na superfície interna .
  • Na superfície externa .
  • No centro .

Resposta

As temperaturas encontradas são:
  • Superfície interna do recipiente:
  • Superfície externa do recipiente:
  • Centro dos rejeitos:

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