Rejeitos radioativos (
) são armazenados em um recipiente esférico de aço inoxidável (
), com raios interno e externo iguais a
e
0,6 m. Calor é gerado no interior dos rejeitos a uma taxa volumétrica uniforme de
e a superfície externa do recipiente está exposta a um escoamento de água no qual
e
. Calcule as temperaturas da superfície externa e interna do recipiente em condições de estado estacionário e também a temperatura no centro do rejeito (
).
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos rejeitos radioativos armazenados dentro de um recipiente esférico de aço inoxidável. A gente precisa descobrir as temperaturas na superfície externa e interna do recipiente quando o sistema está em equilíbrio térmico, além da temperatura no centro dos rejeitos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de condução de calor em esferas com geração interna de calor.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a condução de calor dentro dos rejeitos. Como há uma geração de calor uniforme, usamos a equação de condução de calor em coordenadas esféricas com geração interna:
Onde:
-
é a temperatura, -
é a distância do centro, -
é a taxa de geração de calor, -
é a condutividade térmica dos rejeitos.
Passo 3
Resolvendo a equação diferencial, integramos duas vezes:
Primeira integração:
Primeira integração:
Segunda integração:
Passo 4
Agora, vamos considerar a condução de calor através do recipiente de aço inoxidável. A equação de condução sem geração de calor é:
Integrando duas vezes, temos:
Passo 5
Aplicamos as condições de contorno para unir as soluções das duas regiões (rejeitos e aço inoxidável). As condições são:
- Continuidade da temperatura na interface
. - Continuidade do fluxo de calor na interface.
- Condição de convecção na superfície externa
.
Passo 6
Resolvendo as equações com as condições de contorno, encontramos as constantes
e
. Após os cálculos, obtemos as expressões para
nas duas regiões.
Passo 7
Calculamos as temperaturas:
- Na superfície interna
. - Na superfície externa
. - No centro
.
Resposta
As temperaturas encontradas são:
- Superfície interna do recipiente:
- Superfície externa do recipiente:
- Centro dos rejeitos: