Apresentar a expressão adequada da equação da energia, assim como das necessárias condições de contorno e/ou condição inicial, de acordo com as seguintes situações (em todos os casos considerar que o sistema é composto por um material de condutividade térmica
, que não varia com a temperatura): Nota: Em todos os itens abaixo não é necessário resolver a equação diferencial resultante. Resfriamento de um cilindro infinito com temperatura inicial
em contato com um ambiente externo mantido a uma temperatura
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos que apresentar a equação da energia e as condições de contorno e/ou iniciais para o processo de resfriamento de um cilindro infinito. O cilindro tem uma temperatura inicial
e está em contato com um ambiente externo que mantém uma temperatura constante
. A matéria envolvida tem uma condutividade térmica
que não varia com a temperatura.
Para resolver isso, vamos precisar usar a equação da condução de calor em coordenadas cilíndricas, considerando que o cilindro é infinito e que a condutividade térmica é constante.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação da energia para condução de calor em coordenadas cilíndricas. Como o cilindro é infinito e homogêneo, podemos assumir que não há variação de temperatura nas direções axial e angular, ou seja, a temperatura só depende do raio
e do tempo
.
A equação da energia (ou equação de calor) em coordenadas cilíndricas, considerando essas simplificações, fica assim:
Aqui,
é a difusividade térmica do material, dada por
, onde
é a densidade e
é a capacidade térmica a pressão constante.
Passo 3
Agora, vamos definir a condição inicial. No instante inicial (
), todo o cilindro está a uma temperatura
. Então, a condição inicial é:
Passo 4
Em seguida, precisamos estabelecer as condições de contorno para resolver a equação diferencial. Para um cilindro infinito, temos duas condições importantes:
- No centro do cilindro (
): Como o cilindro é simétrico, a derivada da temperatura em relação a deve ser zero para evitar singularidades. Isso nos dá a condição:
- Ao infinito (
): A temperatura do cilindro deve se aproximar da temperatura do ambiente externo . Portanto, a condição é:
Resposta
A equação da energia para o resfriamento de um cilindro infinito é:
Com as seguintes condições:
Condição Inicial:
Condições de Contorno: