Apresentar a expressão adequada da equação da energia, assim como das necessárias condições de contorno e/ou condição inicial, de acordo com as seguintes situações (em todos os casos considerar que o sistema é composto por um material de condutividade térmica k, que não varia com a temperatura): Nota: Em todos os itens abaixo não é necessário resolver a equação diferencial resultante. Transferência de calor em regime permanente em uma placa quadrada horizontal de lado L, onde cada lado está a uma temperatura diferente (temperaturas T1, T2, T3 e T4 ). Considerar que não há transferência de calor através das suas faces, ao longo da direção vertical.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente formular a equação de energia adequada e as condições de contorno para um caso específico de transferência de calor. Estamos lidando com calor em regime permanente, o que significa que a temperatura não muda com o tempo. O assunto aqui é Transferência de Calor, e vamos precisar usar a equação de condução de calor. Vamos precisar considerar que a condutividade térmica k é constante e que não há transferência de calor na direção vertical da placa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em regime permanente, a equação de condução de calor na dimensão bidimensional (já que a placa é quadrada e a transferência é horizontal) é dada por:
partial^2 Tpartial x^2 + partial^2 Tpartial y^2 = 0
Aqui, T é a temperatura em qualquer ponto da placa, e x e y são as coordenadas dentro da placa.

Passo 3

Esse tipo de equação é conhecido como Equação de Laplace. Ela descreve o equilíbrio térmico na placa, onde não há geração interna de calor. Como a condutividade térmica k não varia com a temperatura, podemos simplificar a equação sem precisar levar k em conta diretamente.

Passo 4

Agora, precisamos definir as condições de contorno, que são as temperaturas fixas nos quatro lados da placa. Vamos supor que os lados da placa estão alinhados ao longo dos eixos x e y, com comprimento L. Assim, temos:
  1. No lado x = 0: T = T1
  2. No lado x = L: T = T2
  3. No lado y = 0: T = T3
  4. No lado y = L: T = T4
Essas condições garantem que cada borda da placa mantém uma temperatura constante.

Passo 5

Juntando tudo, a expressão adequada da equação de energia para esse sistema é a equação de Laplace:
partial^2 Tpartial x^2 + partial^2 Tpartial y^2 = 0
E as condições de contorno são:
T(0, y) = T1 T(L, y) = T2 T(x, 0) = T3 T(x, L) = T4

Resposta

A equação de energia para a transferência de calor em regime permanente na placa quadrada é
partial^2 Tpartial x^2 + partial^2 Tpartial y^2 = 0
com as condições de contorno:
T(0, y) = T1, T(L, y) = T2, T(x, 0) = T3, T(x, L) = T4

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