Apresentar a expressão adequada da equação da energia, assim como das necessárias condições de contorno e/ou condição inicial, de acordo com as seguintes situações (em todos os casos considerar que o sistema é composto por um material de condutividade térmica
, que não varia com a temperatura): Nota: Em todos os itens abaixo não é necessário resolver a equação diferencial resultante. Transferência de calor em regime permanente em uma placa quadrada horizontal de lado
, onde cada lado está a uma temperatura diferente (temperaturas
e
). Considerar que não há transferência de calor através das suas faces, ao longo da direção vertical.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente formular a equação de energia adequada e as condições de contorno para um caso específico de transferência de calor. Estamos lidando com calor em regime permanente, o que significa que a temperatura não muda com o tempo. O assunto aqui é Transferência de Calor, e vamos precisar usar a equação de condução de calor. Vamos precisar considerar que a condutividade térmica
é constante e que não há transferência de calor na direção vertical da placa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em regime permanente, a equação de condução de calor na dimensão bidimensional (já que a placa é quadrada e a transferência é horizontal) é dada por:
Aqui,
é a temperatura em qualquer ponto da placa, e
e
são as coordenadas dentro da placa.
Passo 3
Esse tipo de equação é conhecido como Equação de Laplace. Ela descreve o equilíbrio térmico na placa, onde não há geração interna de calor. Como a condutividade térmica
não varia com a temperatura, podemos simplificar a equação sem precisar levar
em conta diretamente.
Passo 4
Agora, precisamos definir as condições de contorno, que são as temperaturas fixas nos quatro lados da placa. Vamos supor que os lados da placa estão alinhados ao longo dos eixos
e
, com comprimento
. Assim, temos:
- No lado
: - No lado
: - No lado
: - No lado
:
Essas condições garantem que cada borda da placa mantém uma temperatura constante.
Passo 5
Juntando tudo, a expressão adequada da equação de energia para esse sistema é a equação de Laplace:
E as condições de contorno são:
Resposta
A equação de energia para a transferência de calor em regime permanente na placa quadrada é
com as condições de contorno: