Deduzir a expressão do perfil de temperatura, do fluxo térmico e da taxa de transferência de calor no interior de uma casca esférica de condutividade térmica k, raio interno R1 e raio externo R2. As temperaturas nas superfícies, interna e externa, da casca são, respectivamente, T1 e T2.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma casca esférica com condutividade térmica k, raio interno R1 e raio externo R2. As temperaturas nas superfícies interna e externa são T1 e T2, respectivamente. Nosso objetivo é deduzir três coisas:
  1. Perfil de temperatura: como a temperatura varia dentro da casca.
  2. Fluxo térmico: a quantidade de calor que passa por uma área unitária.
  3. Taxa de transferência de calor: a quantidade total de calor que está sendo transferida através da casca.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de condução de calor e equacionamento de fluxo térmico na geometria esférica. Vamos precisar entender a Lei de Fourier para condução de calor e como aplicar as condições de contorno.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar que o sistema está em estado estacionário, ou seja, as temperaturas não estão mudando com o tempo. Além disso, como a casca é esférica e queremos uma solução geral, vamos assumir simetria radial. Isso significa que a temperatura T depende apenas da distância ao centro r, e não do ângulo ou da posiç��o ao redor da esfera.

Passo 3

Vamos aplicar a Lei de Fourier para condução de calor, que nos diz que o fluxo de calor q está relacionado ao gradiente de temperatura:
q = -k nabla T
Como temos simetria radial, o gradiente de temperatura em coordenadas esféricas reduz-se a:
dTdr
Então, a componente radial do fluxo de calor é:
qr = -k dTdr

Passo 4

No estado estacionário, não há acumulação de calor, então a divergência do fluxo de calor é zero:
nabla cdot q = 0
Em coordenadas esféricas, isso se traduz em:
1r^2 ddr ( r^2 qr ) = 0
Multiplicando ambos os lados por r^2, temos:
ddr ( r^2 qr ) = 0
Isso significa que r^2 qr é constante. Vamos chamar essa constante de C:
qr = Cr^2

Passo 5

Agora, substituímos qr na expressão da Lei de Fourier:
-qr = k dTdr
Então:
-Cr^2 = k dTdr
Isolando dTdr:
dTdr = -Ck r^2
Vamos integrar ambos os lados em relação a r para encontrar T(r):
integral dT = -Ck integral 1r^2 dr
Isso resulta em:
T(r) = Ck r + D
Onde D é a constante de integração.

Passo 6

Agora, aplicamos as condições de contorno para determinar as constantes C e D. Sabemos que:
  1. Em r = R1, T = T1.
  2. Em r = R2, T = T2.
Vamos usar essas condições para resolver as constantes.
Para r = R1:
T1 = Ck R1 + D
Para r = R2:
T2 = Ck R2 + D
Subtraindo as duas equações:
T1 - T2 = Ck ( 1R1 - 1R2 )
Resolvendo para C:
C = k (T1 - T2)1R1 - 1R2 = k R1 R2 (T1 - T2)R2 - R1
Agora, substituímos C de volta para encontrar D usando uma das condições de contorno, por exemplo, T2:
T2 = Ck R2 + D D = T2 - Ck R2 = T2 - R1 (T1 - T2)R2 - R1

Resposta

Finalmente, as expressões deduzidas são:
  1. Perfil de temperatura:
T(r) = T2 + R1 (T1 - T2)R2 - R1 ( 1r - 1R2 )
  1. Fluxo térmico:
q(r) = k R1 R2 (T1 - T2)R2 - R1 cdot 1r^2
  1. Taxa de transferência de calor:
A taxa total de transferência de calor Q é o fluxo multiplicado pela área da superfície esférica em qualquer ponto r:
Q = q(r) cdot 4pi r^2 = 4pi k R1 R2 (T1 - T2) cdot 1R2 - R1
Simplificando:
Q = 4pi k R1 R2 (T1 - T2)R2 - R1

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