Deduzir a expressão do perfil de temperatura, do fluxo térmico e da taxa de transferência de calor no interior de uma casca esférica de condutividade térmica , raio interno e raio externo . As temperaturas nas superfícies, interna e externa, da casca são, respectivamente, e .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma casca esférica com condutividade térmica , raio interno e raio externo . As temperaturas nas superfícies interna e externa são e , respectivamente. Nosso objetivo é deduzir três coisas:
  1. Perfil de temperatura: como a temperatura varia dentro da casca.
  2. Fluxo térmico: a quantidade de calor que passa por uma área unitária.
  3. Taxa de transferência de calor: a quantidade total de calor que está sendo transferida através da casca.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de condução de calor e equacionamento de fluxo térmico na geometria esférica. Vamos precisar entender a Lei de Fourier para condução de calor e como aplicar as condições de contorno.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar que o sistema está em estado estacionário, ou seja, as temperaturas não estão mudando com o tempo. Além disso, como a casca é esférica e queremos uma solução geral, vamos assumir simetria radial. Isso significa que a temperatura depende apenas da distância ao centro , e não do ângulo ou da posiç��o ao redor da esfera.

Passo 3

Vamos aplicar a Lei de Fourier para condução de calor, que nos diz que o fluxo de calor está relacionado ao gradiente de temperatura:
Como temos simetria radial, o gradiente de temperatura em coordenadas esféricas reduz-se a:
Então, a componente radial do fluxo de calor é:

Passo 4

No estado estacionário, não há acumulação de calor, então a divergência do fluxo de calor é zero:
Em coordenadas esféricas, isso se traduz em:
Multiplicando ambos os lados por , temos:
Isso significa que é constante. Vamos chamar essa constante de :

Passo 5

Agora, substituímos na expressão da Lei de Fourier:
Então:
Isolando :
Vamos integrar ambos os lados em relação a para encontrar :
Isso resulta em:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, aplicamos as condições de contorno para determinar as constantes e . Sabemos que:
  1. Em , .
  2. Em , .
Vamos usar essas condições para resolver as constantes.
Para :
Para :
Subtraindo as duas equações:
Resolvendo para :
Agora, substituímos de volta para encontrar usando uma das condições de contorno, por exemplo, :

Resposta

Finalmente, as expressões deduzidas são:
  1. Perfil de temperatura:
  1. Fluxo térmico:
  1. Taxa de transferência de calor:
A taxa total de transferência de calor é o fluxo multiplicado pela área da superfície esférica em qualquer ponto :
Simplificando:

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