Deduzir a expressão do perfil de temperatura, do fluxo térmico e da taxa de transferência de calor no interior de uma casca esférica de condutividade térmica
, raio interno
e raio externo
. As temperaturas nas superfícies, interna e externa, da casca são, respectivamente,
e
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma casca esférica com condutividade térmica
, raio interno
e raio externo
. As temperaturas nas superfícies interna e externa são
e
, respectivamente. Nosso objetivo é deduzir três coisas:
- Perfil de temperatura: como a temperatura varia dentro da casca.
- Fluxo térmico: a quantidade de calor que passa por uma área unitária.
- Taxa de transferência de calor: a quantidade total de calor que está sendo transferida através da casca.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de condução de calor e equacionamento de fluxo térmico na geometria esférica. Vamos precisar entender a Lei de Fourier para condução de calor e como aplicar as condições de contorno.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar que o sistema está em estado estacionário, ou seja, as temperaturas não estão mudando com o tempo. Além disso, como a casca é esférica e queremos uma solução geral, vamos assumir simetria radial. Isso significa que a temperatura
depende apenas da distância ao centro
, e não do ângulo ou da posiç��o ao redor da esfera.
Passo 3
Vamos aplicar a Lei de Fourier para condução de calor, que nos diz que o fluxo de calor
está relacionado ao gradiente de temperatura:
Como temos simetria radial, o gradiente de temperatura em coordenadas esféricas reduz-se a:
Então, a componente radial do fluxo de calor é:
Passo 4
No estado estacionário, não há acumulação de calor, então a divergência do fluxo de calor é zero:
Em coordenadas esféricas, isso se traduz em:
Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Isso significa que
é constante. Vamos chamar essa constante de
:
Passo 5
Agora, substituímos
na expressão da Lei de Fourier:
Então:
Isolando
:
Vamos integrar ambos os lados em relação a
para encontrar
:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, aplicamos as condições de contorno para determinar as constantes
e
. Sabemos que:
- Em
, . - Em
, .
Vamos usar essas condições para resolver as constantes.
Para
:
Para
:
Subtraindo as duas equações:
Resolvendo para
:
Agora, substituímos
de volta para encontrar
usando uma das condições de contorno, por exemplo,
:
Resposta
Finalmente, as expressões deduzidas são:
- Perfil de temperatura:
- Fluxo térmico:
- Taxa de transferência de calor:
A taxa total de transferência de calor
é o fluxo multiplicado pela área da superfície esférica em qualquer ponto
:
Simplificando:
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e
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e
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e
.