Apresente a função do estimador da máxima verossimilhança para o parâmetro . Esta função será utilizada nas questões subsequentes.

Passo 1

Ok, vamos lá! A questão pede para apresentar a função do estimador da máxima verossimilhança para o parâmetro . Isso está dentro do conteúdo de Estatística, especificamente no tópico de Inferência Estatística. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a máxima verossimilhança e como construir essa função com base nos dados que temos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é máxima verossimilhança. Basicamente, é um método usado para estimar parâmetros de um modelo estatístico. A ideia é encontrar o valor do parâmetro que torna os dados observados mais “prováveis”.

Passo 3

Para isso, precisamos construir a função de verossimilhança. Suponha que temos uma amostra de dados , e que cada segue uma distribuição que depende do parâmetro . A função de verossimilhança é o produto das funções de probabilidade de cada observação:
Aqui, é a função de densidade ou probabilidade da distribuição dos dados em função de .

Passo 4

Para facilitar os cálculos, geralmente trabalhamos com o logaritmo da função de verossimilhança, chamado de log-verossimilhança:
Isso transforma o produto em uma soma, o que é mais fácil de manipular matematicamente.

Passo 5

Agora, para encontrar o estimador da máxima verossimilhança , precisamos derivar a log-verossimilhança em relação a e igualar a derivada a zero:
Resolvendo essa equação, encontramos o valor de que maximiza a verossimilhança dos dados observados.

Resposta

A função do estimador da máxima verossimilhança para o parâmetro é encontrada resolvendo a equação:
Ou seja,
Essa função será utilizada nas questões seguintes para estimar o parâmetro com base nos dados disponíveis.

Exercícios relacionados

De acordo com o Bureau of Labor Statistics, a remuneração média por semana dos trabalhadores norte-americanos do setor de produção foi de (The World Almanac, 2000). Suponha que os dados disponíveis indiquem que a remuneração semanal dos trabalhadores do setor de produção é normalmente distribuída, com um desvio padrão de .
d) Quanto um trabalhador do setor de produção teve de ganhar, por semana, para se colocar entre os que receberam as maiores remunerações semanais?
Em janeiro de 2003 o trabalhador norte-americano passou em média 77 horas conectado à internet enquanto se encontrava no trabalho (CNBC, 15 de março de 2003). Suponha que os tempos estejam normalmente distribuídos e que a variância seja de 400 horas .
b) Qual porcentagem de trabalhadores passaram mais de 100 horas conectados à internet?
O tempo necessário para concluir um exame final em determinado curso universitário está distribuído normalmente com uma média de 80 minutos e variância de 100 minutos .
a) Qual é a probabilidade um estudante concluir o exame em uma hora ou menos?
Sejam os seguintes tempos entre falhas observados do equipamento descrito pela função de risco dada pela Equação (1):
0.253 0.518 0.330 0.041 0.081 0.240 0.082 0.118
0.030 0.129 0.069 0.003 0.032 0.045 0.160 0.007
0.040 0.042 0.017 0.002 0.099 0.085
  • Qual é o valor do parâmetro da função de risco para este componente?
  • Qual é o intervalo de tempo ótimo para manutenção preventiva deste equipamento? Suponha .
  • Qual é o custo esperado de garantia por produto, supondo garantia total não-renovável sob o custo médio de mínimo reparo igual a 10 (unidade monetária) e período de garantia igual a 2 (unidade de tempo)?
  • Suponha que o fabricante deseja fornecer uma manutenção preventiva em 1 (unidade de tempo) com um fator de restauração . Qual deve ser o custo máximo desta manutenção preventiva de modo a fazer com que o custo esperado da garantia seja reduzido?