Apresente a função do estimador da máxima verossimilhança para o parâmetro
. Esta função será utilizada nas questões subsequentes.
Passo 1
Ok, vamos lá! A questão pede para apresentar a função do estimador da máxima verossimilhança para o parâmetro
. Isso está dentro do conteúdo de Estatística, especificamente no tópico de Inferência Estatística. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é a máxima verossimilhança e como construir essa função com base nos dados que temos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é máxima verossimilhança. Basicamente, é um método usado para estimar parâmetros de um modelo estatístico. A ideia é encontrar o valor do parâmetro
que torna os dados observados mais “prováveis”.
Passo 3
Para isso, precisamos construir a função de verossimilhança. Suponha que temos uma amostra de dados
, e que cada
segue uma distribuição que depende do parâmetro
. A função de verossimilhança
é o produto das funções de probabilidade de cada observação:
Aqui,
é a função de densidade ou probabilidade da distribuição dos dados em função de
.
Passo 4
Para facilitar os cálculos, geralmente trabalhamos com o logaritmo da função de verossimilhança, chamado de log-verossimilhança:
Isso transforma o produto em uma soma, o que é mais fácil de manipular matematicamente.
Passo 5
Agora, para encontrar o estimador da máxima verossimilhança
, precisamos derivar a log-verossimilhança em relação a
e igualar a derivada a zero:
Resolvendo essa equação, encontramos o valor de
que maximiza a verossimilhança dos dados observados.
Resposta
A função do estimador da máxima verossimilhança para o parâmetro
é encontrada resolvendo a equação:
Ou seja,
Essa função
será utilizada nas questões seguintes para estimar o parâmetro
com base nos dados disponíveis.
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De acordo com o Bureau of Labor Statistics, a remuneração média por semana dos trabalhadores norte-americanos do setor de produção foi de
(The World Almanac, 2000). Suponha que os dados disponíveis indiquem que a remuneração semanal dos trabalhadores do setor de produção é normalmente distribuída, com um desvio padrão de
.
d) Quanto um trabalhador do setor de produção teve de ganhar, por semana, para se colocar entre os que receberam as maiores remunerações semanais?
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Em janeiro de 2003 o trabalhador norte-americano passou em média 77 horas conectado à internet enquanto se encontrava no trabalho (CNBC, 15 de março de 2003). Suponha que os tempos estejam normalmente distribuídos e que a variância seja de 400 horas
.
b) Qual porcentagem de trabalhadores passaram mais de 100 horas conectados à internet?
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O tempo necessário para concluir um exame final em determinado curso universitário está distribuído normalmente com uma média de 80 minutos e variância de 100 minutos
.
a) Qual é a probabilidade um estudante concluir o exame em uma hora ou menos?
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Sejam os seguintes tempos entre falhas observados do equipamento descrito pela função de risco dada pela Equação (1):
0.253 | 0.518 | 0.330 | 0.041 | 0.081 | 0.240 | 0.082 | 0.118 |
---|---|---|---|---|---|---|---|
0.030 | 0.129 | 0.069 | 0.003 | 0.032 | 0.045 | 0.160 | 0.007 |
0.040 | 0.042 | 0.017 | 0.002 | 0.099 | 0.085 |
- Qual é o valor do parâmetro da função de risco para este componente?
- Qual é o intervalo de tempo ótimo para manutenção preventiva deste equipamento? Suponha
. - Qual é o custo esperado de garantia por produto, supondo garantia total não-renovável sob o custo médio de mínimo reparo igual a 10 (unidade monetária) e período de garantia igual a 2 (unidade de tempo)?
- Suponha que o fabricante deseja fornecer uma manutenção preventiva em 1 (unidade de tempo) com um fator de restauração
. Qual deve ser o custo máximo desta manutenção preventiva de modo a fazer com que o custo esperado da garantia seja reduzido?