O tempo necessário para concluir um exame final em determinado curso universitário está distribuído normalmente com uma média de 80 minutos e variância de 100 minutos ^2.
a) Qual é a probabilidade um estudante concluir o exame em uma hora ou menos?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem um exame final cujo tempo para ser concluído segue uma distribuição normal. A média desse tempo é de 80 minutos e a variância é de 100 minutos². O que a questão quer saber é: qual a probabilidade de um estudante terminar o exame em uma hora ou menos? Ou seja, queremos achar a probabilidade de o tempo ser ≤ 60 minutos.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de distribuição normal, especificamente os escores z que ajudam a encontrar probabilidades nessa distribuição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a distribuição normal é simétrica e é descrita por sua média (μ) e desvio padrão (σ). Aqui, a média μ é 80 minutos, e a variância é 100 minutos². O desvio padrão σ é a raiz quadrada da variância, então:
sigma = raiz100 = 10 minutos

Passo 3

Agora, queremos encontrar a probabilidade de um estudante terminar o exame em 60 minutos ou menos. Para isso, usamos o escore z, que nos diz quantos desvios padrão um valor está acima ou abaixo da média. A fórmula do z é:
z = X - musigma
Onde:
  • é o valor que queremos comparar (60 minutos)
  • é a média (80 minutos)
  • é o desvio padrão (10 minutos)

Passo 4

Vamos calcular o valor de z:
z = 60 - 8010 = -2010 = -2
Isso significa que 60 minutos está 2 desvios padrão abaixo da média.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar a probabilidade correspondente a esse valor de z. Para isso, usamos a tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora estatística. A probabilidade de z ser menor ou igual a -2 nos dá a chance de um estudante terminar o exame em 60 minutos ou menos.

Passo 6

Consultando a tabela de distribuição normal padrão, encontramos que:
P(z <= -2) approx 0,0228
Isso significa que há aproximadamente 2,28% de chance de um estudante concluir o exame em uma hora ou menos.

Resposta

A probabilidade de um estudante concluir o exame em uma hora ou menos é de aproximadamente 2,28%.

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