O tempo necessário para concluir um exame final em determinado curso universitário está distribuído normalmente com uma média de 80 minutos e variância de 100 minutos
.
a) Qual é a probabilidade um estudante concluir o exame em uma hora ou menos?
a) Qual é a probabilidade um estudante concluir o exame em uma hora ou menos?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente tem um exame final cujo tempo para ser concluído segue uma distribuição normal. A média desse tempo é de 80 minutos e a variância é de 100 minutos². O que a questão quer saber é: qual a probabilidade de um estudante terminar o exame em uma hora ou menos? Ou seja, queremos achar a probabilidade de o tempo ser ≤ 60 minutos.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de distribuição normal, especificamente os escores z que ajudam a encontrar probabilidades nessa distribuição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a distribuição normal é simétrica e é descrita por sua média (μ) e desvio padrão (σ). Aqui, a média μ é 80 minutos, e a variância é 100 minutos². O desvio padrão σ é a raiz quadrada da variância, então:
Passo 3
Agora, queremos encontrar a probabilidade de um estudante terminar o exame em 60 minutos ou menos. Para isso, usamos o escore z, que nos diz quantos desvios padrão um valor está acima ou abaixo da média. A fórmula do z é:
Onde:
-
é o valor que queremos comparar (60 minutos) -
é a média (80 minutos) -
é o desvio padrão (10 minutos)
Passo 4
Vamos calcular o valor de z:
Isso significa que 60 minutos está 2 desvios padrão abaixo da média.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar a probabilidade correspondente a esse valor de z. Para isso, usamos a tabela da distribuição normal padrão ou uma calculadora estatística. A probabilidade de z ser menor ou igual a -2 nos dá a chance de um estudante terminar o exame em 60 minutos ou menos.
Passo 6
Consultando a tabela de distribuição normal padrão, encontramos que:
Isso significa que há aproximadamente 2,28% de chance de um estudante concluir o exame em uma hora ou menos.
Resposta
A probabilidade de um estudante concluir o exame em uma hora ou menos é de aproximadamente 2,28%.
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.
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---|---|---|---|---|---|---|---|
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Seja
uma variável aleatória com distribuição normal padrão, ou seja,
. Calcule as seguintes probabilidades:
i) .
i)