Sejam os seguintes tempos entre falhas observados do equipamento descrito pela função de risco dada pela Equação (1):
0.253 | 0.518 | 0.330 | 0.041 | 0.081 | 0.240 | 0.082 | 0.118 |
---|---|---|---|---|---|---|---|
0.030 | 0.129 | 0.069 | 0.003 | 0.032 | 0.045 | 0.160 | 0.007 |
0.040 | 0.042 | 0.017 | 0.002 | 0.099 | 0.085 |
- Qual é o valor do parâmetro da função de risco para este componente?
- Qual é o intervalo de tempo ótimo para manutenção preventiva deste equipamento? Suponha
. - Qual é o custo esperado de garantia por produto, supondo garantia total não-renovável sob o custo médio de mínimo reparo igual a 10 (unidade monetária) e período de garantia igual a 2 (unidade de tempo)?
- Suponha que o fabricante deseja fornecer uma manutenção preventiva em 1 (unidade de tempo) com um fator de restauração
. Qual deve ser o custo máximo desta manutenção preventiva de modo a fazer com que o custo esperado da garantia seja reduzido?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente tem uma lista de tempos entre falhas de um equipamento e uma função de risco que provavelmente está relacionada à confiabilidade desse equipamento. As perguntas envolvem calcular parâmetros dessa função, encontrar o melhor momento para manutenção preventiva, estimar custos de garantia e determinar o custo máximo para uma manutenção preventiva que reduza os custos de garantia. Para resolver isso, vamos precisar entender de funções de risco, manutenção preventiva, custos de garantia e alguns conceitos de confiabilidade. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeira pergunta: Qual é o valor do parâmetro da função de risco para este componente?
A função de risco, ou função de falha, geralmente é representada por
e dá a taxa instantânea de falhas no tempo
. Para calcular o parâmetro dessa função, precisamos primeiro entender qual modelo de confiabilidade estamos usando. Supondo que seja um modelo exponencial, onde a função de risco é constante, podemos estimar esse parâmetro usando a média dos tempos entre falhas.
Vamos calcular a média dos tempos fornecidos:
Tempos entre falhas:
0.253, 0.518, 0.330, 0.041, 0.081, 0.240, 0.082, 0.118, 0.030, 0.129, 0.069, 0.003, 0.032, 0.045, 0.160, 0.007, 0.040, 0.042, 0.017, 0.002, 0.099, 0.085
0.253, 0.518, 0.330, 0.041, 0.081, 0.240, 0.082, 0.118, 0.030, 0.129, 0.069, 0.003, 0.032, 0.045, 0.160, 0.007, 0.040, 0.042, 0.017, 0.002, 0.099, 0.085
Total de observações: 22
Calculando a soma:
0.253 + 0.518 + 0.330 + 0.041 + 0.081 + 0.240 + 0.082 + 0.118 + 0.030 + 0.129 + 0.069 + 0.003 + 0.032 + 0.045 + 0.160 + 0.007 + 0.040 + 0.042 + 0.017 + 0.002 + 0.099 + 0.085 = 1.936
0.253 + 0.518 + 0.330 + 0.041 + 0.081 + 0.240 + 0.082 + 0.118 + 0.030 + 0.129 + 0.069 + 0.003 + 0.032 + 0.045 + 0.160 + 0.007 + 0.040 + 0.042 + 0.017 + 0.002 + 0.099 + 0.085 = 1.936
Média (
) = Total / Número de observações = 1.936 / 22 ≈ 0.087999
Se estamos usando o modelo exponencial, o parâmetro
é o inverso da média:
Passo 3
Segunda pergunta: Qual é o intervalo de tempo ótimo para manutenção preventiva deste equipamento? Suponha
.
Aqui, queremos encontrar o tempo
que minimiza o custo total envolvendo manutenção preventiva e corretiva. Os custos dados são:
-
: custo da manutenção preventiva -
: custo da manutenção corretiva
Foi dado que
, então
.
A fórmula para o tempo ótimo de manutenção preventiva
no modelo exponencial é:
Substituindo
:
Usando
:
unidades de tempo
Passo 4
Terceira pergunta: Qual é o custo esperado de garantia por produto, supondo garantia total não-renovável sob o custo médio de mínimo reparo igual a 10 e período de garantia igual a 2 unidades de tempo?
O custo esperado de garantia
pode ser calculado pela integral do custo de reparo multiplicado pela função de falha no período de garantia.
Para o modelo exponencial:
Onde:
Calculando a integral:
Passo 5
Quarta pergunta: Suponha que o fabricante deseja fornecer uma manutenção preventiva em 1 unidade de tempo com um fator de restauração
. Qual deve ser o custo máximo desta manutenção preventiva de modo a fazer com que o custo esperado da garantia seja reduzido?
Aqui, queremos encontrar o custo máximo
da manutenção preventiva que ainda reduz o custo esperado de garantia. O fator de restauração
indica que a manutenção preventiva reduz a taxa de falhas pela metade.
Nova taxa de falhas após manutenção preventiva:
O custo esperado de garantia com a nova taxa:
A manutenção preventiva é feita no tempo 1, e a garantia vai de 0 a 2. Então, consideramos a falha no período de 1 a 2 com a nova taxa.
Calculando a integral:
Para que o custo total com manutenção preventiva seja menor que sem, temos:
Substituindo:
Resposta
1. O valor do parâmetro da função de risco é aproximadamente 11.36.
2. O intervalo de tempo ótimo para manutenção preventiva é cerca de 0.171 unidades de tempo.
3. O custo esperado de garantia por produto é 10 unidades monetárias.
4. O custo máximo da manutenção preventiva deve ser menor que 0.034 unidades monetárias para reduzir o custo esperado da garantia.
Exercícios relacionados
O tempo necessário para concluir um exame final em determinado curso universitário está distribuído normalmente com uma média de 80 minutos e variância de 100 minutos
.
a) Qual é a probabilidade um estudante concluir o exame em uma hora ou menos?
a) Qual é a probabilidade um estudante concluir o exame em uma hora ou menos?
Apresente a função do estimador da máxima verossimilhança para o parâmetro
. Esta função será utilizada nas questões subsequentes.
Seja
uma variável aleatória com distribuição normal padrão, ou seja,
. Calcule as seguintes probabilidades:
i) .
i)
Suponha que um reparo mínimo é realizado sob o custo
em caso de falha do componente cuja função de risco é dada pela Equação (1). Caso a falha não ocorra dentro do intervalo de tempo
, o componente é substituído no final do período sob o custo
. Apresente a função que minimiza o custo total desta política de manutenção.