Sejam os seguintes tempos entre falhas observados do equipamento descrito pela função de risco dada pela Equação (1):
0.253 0.518 0.330 0.041 0.081 0.240 0.082 0.118
0.030 0.129 0.069 0.003 0.032 0.045 0.160 0.007
0.040 0.042 0.017 0.002 0.099 0.085
  • Qual é o valor do parâmetro da função de risco para este componente?
  • Qual é o intervalo de tempo ótimo para manutenção preventiva deste equipamento? Suponha .
  • Qual é o custo esperado de garantia por produto, supondo garantia total não-renovável sob o custo médio de mínimo reparo igual a 10 (unidade monetária) e período de garantia igual a 2 (unidade de tempo)?
  • Suponha que o fabricante deseja fornecer uma manutenção preventiva em 1 (unidade de tempo) com um fator de restauração . Qual deve ser o custo máximo desta manutenção preventiva de modo a fazer com que o custo esperado da garantia seja reduzido?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente tem uma lista de tempos entre falhas de um equipamento e uma função de risco que provavelmente está relacionada à confiabilidade desse equipamento. As perguntas envolvem calcular parâmetros dessa função, encontrar o melhor momento para manutenção preventiva, estimar custos de garantia e determinar o custo máximo para uma manutenção preventiva que reduza os custos de garantia. Para resolver isso, vamos precisar entender de funções de risco, manutenção preventiva, custos de garantia e alguns conceitos de confiabilidade. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeira pergunta: Qual é o valor do parâmetro da função de risco para este componente?
A função de risco, ou função de falha, geralmente é representada por e dá a taxa instantânea de falhas no tempo . Para calcular o parâmetro dessa função, precisamos primeiro entender qual modelo de confiabilidade estamos usando. Supondo que seja um modelo exponencial, onde a função de risco é constante, podemos estimar esse parâmetro usando a média dos tempos entre falhas.
Vamos calcular a média dos tempos fornecidos:
Tempos entre falhas:
0.253, 0.518, 0.330, 0.041, 0.081, 0.240, 0.082, 0.118, 0.030, 0.129, 0.069, 0.003, 0.032, 0.045, 0.160, 0.007, 0.040, 0.042, 0.017, 0.002, 0.099, 0.085
Total de observações: 22
Calculando a soma:
0.253 + 0.518 + 0.330 + 0.041 + 0.081 + 0.240 + 0.082 + 0.118 + 0.030 + 0.129 + 0.069 + 0.003 + 0.032 + 0.045 + 0.160 + 0.007 + 0.040 + 0.042 + 0.017 + 0.002 + 0.099 + 0.085 = 1.936
Média ( ) = Total / Número de observações = 1.936 / 22 ≈ 0.087999
Se estamos usando o modelo exponencial, o parâmetro é o inverso da média:

Passo 3

Segunda pergunta: Qual é o intervalo de tempo ótimo para manutenção preventiva deste equipamento? Suponha .
Aqui, queremos encontrar o tempo que minimiza o custo total envolvendo manutenção preventiva e corretiva. Os custos dados são:
  • : custo da manutenção preventiva
  • : custo da manutenção corretiva
Foi dado que , então .
A fórmula para o tempo ótimo de manutenção preventiva no modelo exponencial é:
Substituindo :
Usando :
unidades de tempo

Passo 4

Terceira pergunta: Qual é o custo esperado de garantia por produto, supondo garantia total não-renovável sob o custo médio de mínimo reparo igual a 10 e período de garantia igual a 2 unidades de tempo?
O custo esperado de garantia pode ser calculado pela integral do custo de reparo multiplicado pela função de falha no período de garantia.
Para o modelo exponencial:
Onde:
Calculando a integral:
é praticamente zero, então:
unidades monetárias

Passo 5

Quarta pergunta: Suponha que o fabricante deseja fornecer uma manutenção preventiva em 1 unidade de tempo com um fator de restauração . Qual deve ser o custo máximo desta manutenção preventiva de modo a fazer com que o custo esperado da garantia seja reduzido?
Aqui, queremos encontrar o custo máximo da manutenção preventiva que ainda reduz o custo esperado de garantia. O fator de restauração indica que a manutenção preventiva reduz a taxa de falhas pela metade.
Nova taxa de falhas após manutenção preventiva:
O custo esperado de garantia com a nova taxa:
A manutenção preventiva é feita no tempo 1, e a garantia vai de 0 a 2. Então, consideramos a falha no período de 1 a 2 com a nova taxa.
Calculando a integral:
unidades monetárias
Para que o custo total com manutenção preventiva seja menor que sem, temos:
Substituindo:
unidades monetárias

Resposta

1. O valor do parâmetro da função de risco é aproximadamente 11.36.
2. O intervalo de tempo ótimo para manutenção preventiva é cerca de 0.171 unidades de tempo.
3. O custo esperado de garantia por produto é 10 unidades monetárias.
4. O custo máximo da manutenção preventiva deve ser menor que 0.034 unidades monetárias para reduzir o custo esperado da garantia.

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O tempo necessário para concluir um exame final em determinado curso universitário está distribuído normalmente com uma média de 80 minutos e variância de 100 minutos .
a) Qual é a probabilidade um estudante concluir o exame em uma hora ou menos?
Apresente a função do estimador da máxima verossimilhança para o parâmetro . Esta função será utilizada nas questões subsequentes.
Seja uma variável aleatória com distribuição normal padrão, ou seja, . Calcule as seguintes probabilidades:
i) .
Suponha que um reparo mínimo é realizado sob o custo em caso de falha do componente cuja função de risco é dada pela Equação (1). Caso a falha não ocorra dentro do intervalo de tempo , o componente é substituído no final do período sob o custo . Apresente a função que minimiza o custo total desta política de manutenção.