Aproximamos o escoamento do ar em um acessório de aspirador de pó seguindo os componentes da velocidade no plano central (o plano ):
e
Onde b é a distância do acessório acima do piso, L é o comprimento do acessório e é a vazão em volume do ar sendo sugado para dentro da mangueira. Determine o local dos pontos de estagnação nesse campo de escoamento.
(R. Na origem

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício quer! A gente tem um campo de velocidade do ar num aspirador de pó, dado por duas equações que mostram as componentes da velocidade nos eixos x e y. A matéria aqui é de Mecânica dos Fluidos, e pra resolver a parada, a gente precisa saber como encontrar os pontos onde o ar praticamente para, ou seja, os pontos de estagnação. Esses pontos acontecem quando tanto a velocidade na direção x (u) quanto na direção y (v) são iguais a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações das componentes da velocidade:
Queremos achar onde u = 0 e v = 0 ao mesmo tempo. Vamos olhar para cada equação separadamente.

Passo 3

Para u = 0, a fração toda tem que ser zero. Como o denominador nunca é zero (ele é uma soma de quadrados e sempre positivo), o numerador tem que ser zero:
Isso acontece quando .

Passo 4

Agora, para v = 0, aplicamos a mesma lógica:
Isso acontece quando ou .

Passo 5

Como já vimos que , vamos substituir isso na segunda condição:
Se , então , ou seja, ou .

Passo 6

Então, temos três possibilidades:
  1. e
  2. e
  3. e

Passo 7

Agora, verificamos qual desses pontos realmente faz as duas componentes da velocidade serem zero.
  • Para : Ambas as equações ficam zero.
  • Para e : Apenas v fica zero, mas u também é zero já que x = 0.
No entanto, analisando a expressão original de v, vemos que para , o numerador também é zero, confirmando que v = 0 nesses pontos.

Resposta

Os pontos de estagnação estão na origem, ou seja, em .

Exercícios relacionados

Estime a força exercida no seu tímpano devido somente à agua acima de você stiver nadando no fundo de uma piscina de 5 m de profundidade. Considere a u tímpano como sendo .
O compressor de uma grande usina de potência a gás admite ar ambiente a 95 , com baixa velocidade. Na descarga do compressor, o ar sai a , com velocidade de . A potência de acionamento do compressor é . Determine a vazão mássica de ar pelo compressor.
Um balão meteorológico é lançado na atmosfera. Quando o balão atinge um altitude na qual é neutramente flutuante, ele transmite informações sobre as condições climáticas para estações de monitoramento no solo. Essa é uma medição lagrangiana ou euleriana? Por que?
Explique a diferença entre descrição euleriana e a descrição lagrangeana.