Aproximamos o escoamento do ar em um acessório de aspirador de pó seguindo os componentes da velocidade no plano central (o plano x y ):
u=-dotV xpi L x^2+y^2+b^2x^4+2 x^2 y^2+2 x^2 b^2+y^4-2 y^2 b^2+b^4
e
v=-dotV ypi L x^2+y^2-b^2x^4+2 x^2 y^2+2 x^2 b^2+y^4-2 y^2 b^2+b^4
Onde b é a distância do acessório acima do piso, L é o comprimento do acessório e dotV é a vazão em volume do ar sendo sugado para dentro da mangueira. Determine o local dos pontos de estagnação nesse campo de escoamento.
(R. Na origem (x, y)=(0,0))

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício quer! A gente tem um campo de velocidade do ar num aspirador de pó, dado por duas equações que mostram as componentes da velocidade nos eixos x e y. A matéria aqui é de Mecânica dos Fluidos, e pra resolver a parada, a gente precisa saber como encontrar os pontos onde o ar praticamente para, ou seja, os pontos de estagnação. Esses pontos acontecem quando tanto a velocidade na direção x (u) quanto na direção y (v) são iguais a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações das componentes da velocidade:
u = -dotV xpi L x^2+y^2+b^2x^4+2x^2y^2+2x^2b^2+y^4-2y^2b^2+b^4
v = -dotV ypi L x^2+y^2-b^2x^4+2x^2y^2+2x^2b^2+y^4-2y^2b^2+b^4
Queremos achar onde u = 0 e v = 0 ao mesmo tempo. Vamos olhar para cada equação separadamente.

Passo 3

Para u = 0, a fração toda tem que ser zero. Como o denominador nunca é zero (ele é uma soma de quadrados e sempre positivo), o numerador tem que ser zero:
-dotV x (x^2+y^2+b^2) = 0
Isso acontece quando .

Passo 4

Agora, para v = 0, aplicamos a mesma lógica:
-dotV y (x^2+y^2-b^2) = 0
Isso acontece quando ou .

Passo 5

Como já vimos que , vamos substituir isso na segunda condição:
Se , então , ou seja, ou .

Passo 6

Então, temos três possibilidades:
  1. e
  2. e
  3. e

Passo 7

Agora, verificamos qual desses pontos realmente faz as duas componentes da velocidade serem zero.
  • Para : Ambas as equações ficam zero.
  • Para e : Apenas v fica zero, mas u também é zero já que x = 0.
No entanto, analisando a expressão original de v, vemos que para , o numerador também é zero, confirmando que v = 0 nesses pontos.

Resposta

Os pontos de estagnação estão na origem, ou seja, em .

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