Aproximamos o escoamento do ar em um acessório de aspirador de pó seguindo os componentes da velocidade no plano central (o plano
):
e
Onde b é a distância do acessório acima do piso, L é o comprimento do acessório e
é a vazão em volume do ar sendo sugado para dentro da mangueira. Determine o local dos pontos de estagnação nesse campo de escoamento.
(R. Na origem
(R. Na origem
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício quer! A gente tem um campo de velocidade do ar num aspirador de pó, dado por duas equações que mostram as componentes da velocidade nos eixos x e y. A matéria aqui é de Mecânica dos Fluidos, e pra resolver a parada, a gente precisa saber como encontrar os pontos onde o ar praticamente para, ou seja, os pontos de estagnação. Esses pontos acontecem quando tanto a velocidade na direção x (u) quanto na direção y (v) são iguais a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as equações das componentes da velocidade:
Queremos achar onde u = 0 e v = 0 ao mesmo tempo. Vamos olhar para cada equação separadamente.
Passo 3
Para u = 0, a fração toda tem que ser zero. Como o denominador nunca é zero (ele é uma soma de quadrados e sempre positivo), o numerador tem que ser zero:
Isso acontece quando
.
Passo 4
Agora, para v = 0, aplicamos a mesma lógica:
Isso acontece quando
ou
.
Passo 5
Como já vimos que
, vamos substituir isso na segunda condição:
Se
, então
, ou seja,
ou
.
Passo 6
Então, temos três possibilidades:
-
e -
e -
e
Passo 7
Agora, verificamos qual desses pontos realmente faz as duas componentes da velocidade serem zero.
- Para
: Ambas as equações ficam zero. - Para
e : Apenas v fica zero, mas u também é zero já que x = 0.
No entanto, analisando a expressão original de v, vemos que para
, o numerador
também é zero, confirmando que v = 0 nesses pontos.
Resposta
Os pontos de estagnação estão na origem, ou seja, em
.